Условные законы распределения

Обратимся теперь к зависимым величинам. Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встречается на практике. Если случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины X величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины X величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать с ростом X). Эта тенденция соблюдается лишь в общих чертах, и в каком-то отдельном случае от неё возможны отступления. Примеры случайных величин, находящихся в вероятностной зависимости: рост и возраст ребенка; затраты и прибыль при производстве определенной продукции; затраты на рекламу и объем продаваемой продукции.

Для того, чтобы полностью описать систему, недостаточно знать распределение каждой из составляющих; нужно ещё знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость характеризуется с помощью условных законов распределения.

Условным законом распределения одной из случайных величин, входящих в систему (X, Y), называется её закон распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение (или попала в какой-то интервал).

Пусть (X, Y) – дискретная двумерная случайная величина и

В соответствии с определением условных вероятностей событий^*), условная вероятность того, что случайная величина Х примет значение при условии , определяется равенством

(34)

Совокупность вероятностей (34), то есть , представляет собой условный закон распределения случайной величины Х при условии . Сумма условных вероятностей

Аналогично определяются условная вероятность и условный закон распределения случайной величины Y при условии :

. (35)

Пример 8. Пусть закон распределения двумерного случайного вектора (X, Y) задан таблицей 2 (стр. 8). Найти условный закон распределения случайной величины Х при Y =0, 1.

Решение. С учетом формулы (34) имеем:

(значение взято из безусловного закона распределения случайной величины Y, приведенного в таблице 4 на стр. 9).

^*) Пусть А и В – случайные события. Тогда вероятность их совместного появления равна , где - условная вероятность события В при условии, что событие А произошло; - условная вероятность события А при условии, что событие В произошло. Тогда , .

Таким образом, условный закон распределения случайной величины Х при Y =0, 1 таков:

Таблица 5

Х
	0, 4	0, 6

Сравнивая найденный условный закон распределения случайной величины Х с безусловным законом её распределения (таблица 3 на стр. 8), видим, что они различны. Следовательно, случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости.

Пусть теперь (X, Y) – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью ; и - плотности распределения соответственно случайной величины Х и случайной величины Y.

Условной плотностью распределения составляющей X при условии Y=y называют отношение плотности совместного распределения к плотности распределения составляющей Y:

(36)

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y при условии X=x:

(37)

Из (36) и (37) получим:

. (38)

Таким образом, плотность распределения системы двух непрерывных случайных величин равна произведению плотности одной составляющей на условную плотность другой составляющей.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

(39)

Пример 9. Непрерывный вектор (X, Y) равномерно распределен в круге с радиусом 1, то есть

Найти условные плотности распределения компонент этого вектора.