Функция распределения вероятностей

двумерной случайной величины и её свойства

Универсальной формой задания двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»).

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют вероятность совместного выполнения двух неравенств {X< x} и {Y< y}:

. (1)

Геометрическая интерпретация: если двумерную случайную величину (X, Y) рассматривать как случайную точку в прямоугольной декартовой системе координат, то функция распределения F(x, y) есть вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (x, y), лежащий левее и ниже её (рис.3):

Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции распределения

двумерной случайной величины

В аналогичной интерпретации функция распределения первой компоненты X случайного вектора – обозначим её F₁(x) – представляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой х (рис. 4); функция распределения величины Y – F₂(y) – вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой y (рис. 5):

Рис. 4. Геометрическая интерпретация функции распределения первой компоненты F₁(x) двумерной случайной величины (X, Y).

Рис. 5. Геометрическая интерпретация функции распределения второй компоненты F₂(y) двумерной случайной величины (X, Y).

Пример 1. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (X, Y) примет значение X< 2, при этом составляющая Y примет значение Y< 3, если известна функция распределения системы

Решение:

Тогда

Ответ: 0, 5625.