Задание №5. ЭВМ в случайные моменты времени может выходить из строя (давать сбои)

ЭВМ в случайные моменты времени может выходить из строя (давать сбои). Среднее время безотказной работы ЭВМ – t ₁ часов, среднее время поиска неисправности – t ₂ часов, среднее время ремонта ЭВМ – t ₃ часов, среднее время подготовки ЭВМ к работе – t ₄ часов. Потоки отказов, поиск неисправностей, ремонта и подготовки к работе простейшие. Найти среднее время работы на ЭВМ за месяц работы (30 дней) вычислительного центра, если работа ведется круглосуточно.

Лабораторная работа № 5

СОРТИРОВОЧНАЯ СТАНЦИЯ КАК СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Основные понятия и классификация систем массового обслуживания

Заявкой (требованием) назовем спрос на удовлетворение какой – либо потребности. Далее будем подразумевать, что все заявки однотипные. Удовлетворение спроса назовем обслуживанием заявки.

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких – либо заявок, поступающих в нее в случайные моменты времени. Устройство, непосредственно обслуживающее заявку, называется каналом обслуживания. СМО может содержать одно такое устройство, тогда она называется одноканальной. Если СМО содержит несколько обслуживающих устройств, то она называется многоканальной.

Поступление заявки в СМО назовем событием. Последовательность событий, состоящих в поступлении заявок в СМО, назовем входящим потоком заявок. Последовательность событий, состоящих в выходе заявок из СМО, назовем выходящим потоком заявок.

В зависимости от поведения заявки в СМО различают СМО с отказами и СМО с очередью (или ожиданием). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, получает отказ и покидает СМО. В СМО с очередью (или ожиданием) заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения одного из каналов обслуживания.

Возможны СМО смешанного типа. Например, СМО с ограниченной очередью. В такой СМО заявка становится в очередь при занятости всех каналов, если очередь невелика, скажем, не достигла длины m. Если все m мест в очереди заняты, заявка покидает СМО. К СМО смешанного типа относятся СМО с ограниченным временем ожидания. Заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь, но может уйти из СМО необслуженной, если время ожидания слишком велико.

СМО с очередью (или с ожиданием) могут быть открытого и замкнутого типа. В открытых СМО интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО, так как круг «клиентов» (поступающих заявок) практически не ограничен. Примерами таких СМО являются вокзальные кассы, метрополитен, телевизионные ателье больших городов и т.д. В СМО с очередью замкнутого типа обслуживается ограниченный круг «клиентов», поэтому интенсивность потока заявок существенно зависит от состояния системы. Примерами таких СМО являются различные ремонтные системы в автопарках, цехах и т.д.

СМО с очередью и смешанного типа различаются также по дисциплине обслуживания; обслуживаются ли заявки в порядке поступления, или в случайном порядке, или есть заявки, которые обслуживаются вне очереди (СМО с приоритетом).

Сортировочная станция является многофазовой системой массового обслуживания. Примеры систем массового обслуживания применительно к условиям работы станции и прилегающих к ней участков даны в таблицах 1– 6.

Применительно к сортировочной станции стационарность потока требований (заявок) сохраняется, если распределение плотности потока заявок берётся не за сутки, а за более короткий промежуток времени. Ординарность потока заявок сохраняется всегда, а отсутствие последействия – для станций, к которым примыкают несколько направлений.

Примеры систем массового обслуживания применительно к условиям работы станции и прилегающих участков приводятся в табл. 1–5. Все типы систем являются системами с чистым ожиданием.

Как видно из приведенного, сортировочная станция является многофазовой системой массового обслуживания. Всю станцию можно разбить на две системы массового обслуживания. В первой двухфазовой системе массового обслуживания «прилегающие участки - парк приема – горка» составы поездов пребывают с момента прибытия поездов на станцию до момента окончания расформирования. В течение этого времени составы поездов подвергаются двум фазам обслуживания – техническому осмотру и расформированию. Во второй системе составы поездов своего формирования пребывают с момента завершения накопления составов до момента отправления поезда со станции, подвергаются трехфазовому обслуживанию –формированию, техническому осмотру в парке отправления и отправлению (ожидание отправления в связи со следованием поездов по перегону). Аналитическое решение задачи многофазового обслуживания для общего случая не представляется возможным. С другой стороны, многофазовая система может рассматриваться как последовательная сеть однофазовых систем, в которой выходящий из данной системы поток является входящим для последующей системы. Например, выходящий после технического осмотра в парке приема поток составов поездов является входящим потоком для системы «парк приема – горка». Таким образом, и в сложных случаях многофазовых систем задача сводится к изучению отдельных однофазовых подсистем.

Параметрами системы являются интенсивность входящего потока требований, определяемая числом требований, поступающих в единицу времени, и интенсивность обслуживания – число требований, которое может быть обслужено в единицу времени в зависимости от мощности обслуживающего устройства. Интенсивность входящего потока является величиной, обратной среднему значению интервалов, между поступающими требованиями, а интенсивность обслуживания – величина, обратная среднему времени обслуживания, загрузка системы a (отношение интенсивности входящего потока требований к интенсивности обслуживания) ;

На показатели работы системы оказывает влияние также характер распределения входящего потока поездов и характер распределения времени обслуживания. Эти распределения являются, как правило, произвольными. Наиболее удобно применить для их сглаживания эрланговские распределения. Как указывалось, параметр к в эрланговском распределении изменяется от единицы до бесконечности. Это позволяет применить закон Эрланга для сглаживания широкого класса реальных распределений, у которых параметр

к ³ 1. Задача, в конечном счете, сводится лишь к определению математического ожидания и дисперсий промежутков времени между моментами поступления требований и этих же характеристик для интервалов обслуживания; разделив квадрат математического ожидания на дисперсию (см. формулу 20), получим параметр к в распределении каждой из величины (интервалов между поступлением требований и интервалов обслуживания). Гипотеза об эрланговском распределении, как указывалось, должна проверяться по одному из критериев согласия. Будем обозначать в дальнейшем параметр в эрланговском распределении входящего потока (промежутков времени между моментами поступления требования) через к1, а в эрланговском распределении времени обслуживания через к.

Таким образом, для определения показателей функционирования системы массового обслуживания необходимо:

а) установить в каждой конкретной задаче, что принять в качестве входящего потока требований и определить его интенсивность l и характер распределения этого входящего потока, т. е. определить параметр к в эрланговском распределении промежутков а, а1 и т. д. (см. рис. 2) времени между моментами поступления требований;

б) установить в каждой конкретной задаче, какую величину следует принимать в качестве времени обслуживания, определить интенсивность обслуживания m и характер распределения времени обслуживания, т. е. Установить величину параметра к в эрланговском распределении этого времени обслуживания (см. промежутки b, b1, b2 и т. д. на рис. 2);

в) определить тип системы массового обслуживания (одноканальная, двухканальная и т. д.) и установить ее загрузку

г) определить необходимые показатели системы.

бований в системе .....

(входящий поток)

tож

Ожидание обслуживания t ож ׳ ׳

(в накопителе) t ож ׳ ׳ ׳

Работа обслуживающего b1 b2 b3 b4 b5

устройства

Выходящий поток

Рис. 2

Таблица 1

Система № 1 – «прилегающие участки – парк приема»

Таблица 2

Система № 2 – «парк приема – горка»

Таблица 3

Система № 3 – «сортировочный парк – вытяжка формирования»

Таблица 4

Система № 3 а – «сортировочный парк – вытяжки формирования»

Таблица 5

Система № 4 – «парк отправления – технические операции по отправлению»

Таблица 6

Система № 5 – «парк отправления – прилегающий участок»

Как видно из приведенных таблиц, эти системы можно объединить в две системы массового обслуживания. В первой двухфазовой системе массового обслуживания «прилегающие участки – парк приема – горка», поезда подвергаются двум фазам обслуживания – техническому осмотру и расформированию, во второй системе «сортировочный парк – парк отправления – прилегающий участок» – поезда подвергаются трехфазовому обслуживанию – формированию, техническому осмотру и отправлению.