Марковские случайные процессы

Пусть имеется физическая система, которая под влиянием случайных факторов может переходить мгновенно из одного состояния в другое. Число состояний системы может быть конечно (или счетно). Тогда говорят, что в системе происходит случайный процесс с дискретным (или счетным) множеством состояний.

Рассмотрим входящий поток заявок в систему, как последовательность точек t1, t2,..., ti,... – моментов поступления заявок на оси времени Ot (рис.1.0) Здесь t0 – начальный момент.

Рис. 1.0

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

Случайный процесс, протекающий в какой-либо физической система S, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t₀ (рис. 1.1) вероятности любого состояния системы в будущем (при t > t₀) зависят только от ее состояния в настоящем (при t = t₀) и не зависят от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - от прошлого).

t < t₀ (прошлое) t > t₀ (будущее)

t

t = t₀ (настоящее)

Рис. 1.1.

При этом, если переход из состояния в состояние происходит в строго фиксированные моменты времени , называемые шагами, то имеем Марковский случайный процесс с дискретным множеством состояний и дискретным временем (цепь Маркова с дискретным временем). Если переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, то имеем Марковский случайный процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем (цепь Маркова с непрерывным временем).

1 Простейший поток событий – поток однородных событий, удовлетворяющий следующим условиям: стационарности, ординарности и без последействия, (без предыстории).

Поток событий называется стационарным, если вероятность того, что за промежуток времени произойдет m событий потока, зависит только от длины интервала времени и не зависит от начала его отсчета . Интенсивность потока (среднее число событий в единицу времени) для стационарного потока постоянна. Это позволяет рассчитывать характеристики системы в среднем.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся промежутков времени число событий, приходящихся на один из них, не зависит от того, сколько событий произошло за другие промежутки времени.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что за малый промежуток времени произошло не менее двух событий, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что за промежуток времени произошло одно событие. Это означает, что события в систему поступают по одному.

Стационарный, ординарный без последействия поток называется простейшим потоком (или потоком Пуассона). Нестационарный, ординарный без последействия поток называется нестационарным потоком Пуассона.

Промежуток времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока распределен по показательному (экспоненциальному) закону с параметром . Его среднее значение (математическое ожидание) и среднее квадратическое отклонение равны , т.е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

При рассмотрении процессов, протекающих в системах с дискретным множеством состояний и непрерывным временем, можно считать, что переход системы из состояния в состояние происходит под действием потоков событий. Если все потоки, переводящие систему из состояния в состояние, будут пуассоновские (стационарные или нестационарные), то процесс, протекающий в системе, будет марковским.