А – О и Е – I.

Поскольку отношения между противоречащими суждениями подчиняются закону исключенного третьего, из истинности одного суждения следует ложность другого суждения, из ложности – то истинность другого. Например, из истинности общеутвердительного суждения(А) «Каждый гражданин России обязан соблюдать российские законы» следует ложность частноотрицательного суждения «Некоторые граждане России не обязаны соблюдать российские законы» (А_и О_л).

Из истинности частноутвердительного суждения (I): «Некоторые приговоры суда являются оправдательными» следует ложность общеотрицательного суждения «Ни один приговор суда не является оправдательным» (Е).

Таким образом, противоречащие суждения не могут быть одновременно истинными: одно из них обязательно истинно, другое необходимо ложно. Выводы строятся по схемам: А_и О_л; А_л О_и; Е_и I_л; Е_л I_и.

2.Выводы из отношения противоположности (контрарности) А – Е, основанное на законе (не)противоречия. Из истинности одного суждения следует ложность другого суждения, но из ложности одного из них не следует истинность другого. Здесь нет предиката «истинно», т.к. оба противоположных суждения могут быть ложными. Например, из истинности общеутвердительного суждения(А) «Каждый гражданин России обязан соблюдать российские законы» следует ложность общеотрицательного суждения «Ни один гражданин России не обязан соблюдать российские законы». Но из ложности суждения (А) «Все приговоры суда являются оправдательными» не следует истинность суждения «Ни один приговор суда не является оправдательным». Это суждение также ложно.

Отношения между противоположными суждениями подчиняются закону непротиворечия. Выводы строятся по схемам:

А_и Е_л; Е_и А_л; А_л Е?; Е_л А?

Здесь делается вывод о ложности либо общего суждения, либо единичного.

3.Выводы из отношений подчинения А - I и Е – О, основанное на отношении подчинения. Из истинности общего суждения следует истинность частного, подчиненного ему суждения, т.е. из истинности А следует истинность I, из истинности Е следует истинность О, но не наоборот: из истинности подчиненного суждения истинность подчиняющего суждения не следует, оно может быть истинным, но может быть ложным. Например, из истинности подчиняющего суждения (А) «Все предприниматели платят налоги» следует истинность подчиненного ему суждения (I) «Некоторые предприниматели платят налоги». Из истинного подчиненного суждения

I « Некоторые свидетели допрошены » нельзя с необходимостью утверждать об истинности подчиняющего общего суждения «Все свидетели допрошены».

Выводы строятся по схемам: А_и I_и; Е_и О_и; I_и А?; О_и Е?

4. Выводы из отношений частичной совместимости (субконтрарности)

I – О. Из ложности одного суждения следует истинность другого, но из истинности одного из них может следовать как истинность, так и ложность другого суждения. Истинными могут быть оба суждения. Например, из ложного суждения «Некоторые врачи не имеют медицинского образования» следует истинное суждение «Некоторые врачи имеют медицинское образование». Из истинного суждения «Некоторые свидетели допрошены» следует суждение «Некоторые свидетели не допрошены», которое может быть как истинным, так и ложным.

Таким образом, субконтрарные суждения не могут быть одновременно ложными; по крайней мере, одно из них необходимо истинно.

Выводы строятся по схемам: I_л О_и; О_л I_и; I_и О?; О_и I?

Сделаем выводы по логическому квадрату из следующего суждения: «Все люди грамотны». Это суждение общеутвердительное – А. Если оно истинное, то тогда суждение О «Некоторые люди не грамотны» будет ложным;

А_и О_л (противоречие)

Суждение Е «Ни один человек не является грамотным» - ложное

А_и Е_л

Суждение I «Некоторые люди грамотны» будет истинным

А_и I_и

Если же суждение «Все люди грамотны» принять за ложное, то тогда суждение О обязательно будет истинным, суждение Е может быть или истинным, или ложным, I – истинным или ложным

А_л О_и (противоречие)

А_л Е_и или Е_л (противоположность)

А_л I_и или I_л (подчинение).

Смысл умозаключений по логическому квадрату состоит в том, что знание зависимости истинности или ложности одних суждений от истинности или ложности других помогает делать правильные выводы в процессе рассуждения. Эти выводы основаны на определенных правилах, нарушение которых приводит к ошибкам: ложные суждения принимаются за истинные, а истинные – за ложные.

Умозаключения по логическому квадрату находят применение во многих мыслительных приемах и операциях, в том числе в доказательстве и опровержении, где построение некоторых способов косвенного доказательства и косвенного опровержения опирается на отношения противоречия.