Библиографический список 1 страница

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

С. А. Наумова

И. В. Ясеновская

Теория вероятностей

(случайные величины)

Варианты контрольных заданий

Для бакалавриантов 2-го курса всех направлений

И форм обучения

Хабаровск 2011

ББК В

Х12

Теория вероятностей (случайные величины): варианты контрольных

заданий для бакалаврантов 2 курса всех направлений и форм обучения

/ сост. С. А. Наумова, И. В. Ясеновская. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП,

2011. – 52 с.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент начальник отделения

подготовки научно-педагогических кадров ХПИ ФСБ России Ивлева А.И.

Варианты контрольных заданий соответствуют программе курса и предназначены для индивидуальной или для проведения аудиторной контрольной работы

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний для бакалаврантов

Наумова Светлана Александровна

Ясеновская Инна Витальевна

Теория вероятностей (случайные величины)

Варианты контрольных заданий для бакалаврантов 2-го курса

всех направлений и форм обучения

Редактор Г.С. Одинцова

___________________________________________________________________________________

Подписано в печать. Формат 60х84/16. Бумага писчая.

Печать цифровая. Усл.п.л. 3, 0. Уч.-изд.л. 2, 2. Тираж 250 экз.

Заказ № ____________________________________________________

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2011

Предисловие

В методической разработке приведены 30 вариантов контрольных заданий по разделу теории вероятностей «Случайные величины».

Каждый вариант состоит из 8 типовых заданий. В вариантах предусмотрены задания по следующим темам: закон распределения случайных величин, функция распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин, числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин, закон больших чисел в форме неравенства Чебышева и теоремы Чебышева.

Подбор задач произведён с учётом специфики отдельных экономических направлений (задачи содержат элементы финансового анализа, аудита и менеджмента).

Данные задания отражают часть учебного материала раздела теории вероятностей и математической статистики дисциплины, которая предусматривается федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по всем направлениям подготовки бакалавров.

Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольной работы

Вариант для контрольного задания студент выбирает в соответствии со своим порядковым номером в журнале преподавателя.

При выполнении контрольной работы надо придерживаться указанных ниже правил.

1. Контрольные работы выполнять в тетради, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть написаны фамилия студента, его инициалы, название дисциплины и номер варианта контрольной работы.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задачи.

5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью её условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера. При решении задач возможно использование основных формул и таблиц значений функций, которые приведены в приложениях А – Г.

6. После получения прорецензированной работы студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочёты. В связи с этим следует оставлять в конце тетради чистые листы для работы над ошибками. Вносить исправления в текст работы после её рецензирования запрещается.

7. В случае незачёта работы, выполнив работу над ошибками, необходимо сдать работу на повторную проверку.

Вариант 1

1. В городе 5 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения и построить её график. Найти вероятность того, что в течение года обанкротится не больше одного банка.

2. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4 билета. Наугад извлекают 4 билета. Составить закон распределения числа выигрышных билетов среди отобранных. Найти числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

.

4. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x).

Требуется:

1. Найти коэффициент С.

2. Найти функцию распределения F(x).

3. Найти М(х), D(x), s(х).

4. Найти вероятность Р (a< x< b).

5. Построить графики f(x) и F(х).

f(х)= , 3

a =2, 5, b =3, 5.

5. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2; 6). Составить f(x), F(x). Найти М(х), D(x). Построить графики f(x), F(x).

6. Дисперсия каждой из 1 200 независимых случайных величин не превышает 3. Определить вероятность отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математического ожидания не более чем на 0, 45.

7. Проводилось социологическое исследование молодёжи от 18 до 25 лет. Найти вероятность отклонения числа молодых людей, не имеющих работу, от своего математического ожидания на величину меньшую чем 70. Если Д(х)= 25.

8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(х) и s(х).

Требуется:

1. Составить функцию плотности распределения и построить её график.

2. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a; b).

3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от её математического ожидания не превысит d:

М(х)= 0, 9; s(х)= 0, 25; a =0, 01; b =1, 2; d =0, 03.

Вариант 2

1. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0, 05. Нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составить закон распределения числа успешных нефтеразведок. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить её график. Найти вероятность того, что не меньше 2 нефтеразведок принесут успех.

2. В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивые. Тщательной проверке подвергается 15 случайно отобранных авизо. Составить закон распределения числа фальшивых авизо, которые могут быть выявлены в ходе проверки. Найти числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

Z = (2Х)× У.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(х).

Требуется:

1. Найти функцию плотности распределения f(х).

2. Найти М (х), D(x), s(х).

3. Найти вероятность Р (a< x< b).

4. Построить графики f(x) и F(х).

F(х) = , 4

a =2, b =5.

5. Случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром l =4. Составить f(х), F(х). Найти Р(1< x< 3) и числовые характеристики.

6. Вероятность того, что ячейка камеры хранения будет свободна в течение суток, равна 0, 2. Оценить вероятность того, что в течение 24 часов число свободных ячеек будет заключено в пределах от 140 до 180, если всего на вокзале 800 ячеек.

7. Дисперсия каждой из 2 500 независимых случайных величин не превосходит 9. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин

от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдёт 0, 5.

8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М (х) и s(х).

Требуется:

1. Составить функцию плотности распределения и построить её график.

2. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a; b).

3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от её математического ожидания не превысит d:

М (х)= 12; s(х)= 4; a =10; b =14; d =5.

Вариант 3

1. Под руководством бригадира производственного участка работают 3 мужчин и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих случайно. Составить закон распределения числа женщин в выборке. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения и построить её график.

2. В городе 10 машиностроительных предприятий, из которых 6 рентабельных и 4 убыточных. Программой приватизации намечено приватизировать 5 предприятий. При условии проведения приватизации в случайном порядке составить закон распределения рентабельных предприятий, попавших в число приватизируемых. Найти числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

Z = Х + .

4. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x). Требуется:

1. Найти коэффициент С.

2. Найти функцию распределения F(x).

3. Найти М(х), D(x), s(х).

4. Найти вероятность Р (a< x< b).

5. Построить графики f(x) и F(х).

f(х)= , 1 .

a =1, b =2.

5. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (-1; 4). Составить f(х), F(х), построить их графики. Найти М(х), Д(х).

6. Вероятность того, что предприниматель отправится в Москву на самолёте, равна 0, 8. Оценить вероятность того, что среди 1 000 предпринимателей число человек, выбравших самолёт, будет находиться от 665 до 935.

7. Дисперсия каждой из 1 200 случайных величин не превышает 3. Определить вероятность отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математического ожидания не более чем на 0, 45.

8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(х) и s(х).

Требуется:

1. Составить функцию плотности распределения и построить её график.

2. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a; b).

3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от её математического ожидания не превысит d:

М(х)= 10; s(х)= 4; a =12; b =14; d =0, 1.

Вариант 4

1. Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70 % правильных решений. Управляющему банком предстоит принять решения по 4 важным вопросам банковской политики. Считая вероятность принятия правильного решения постоянной, составить закон распределения возможного числа правильных решений управляющего. Найти числовые характеристики. Записать функцию распределения и построить её график. Найти вероятность того, что управляющий примет менее 3 правильных решений.

2. В магазине имеется 15 автомобилей определённой марки. Среди них 7 чёрного цвета. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки. Составить закон распределения числа проданных автомобилей чёрного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно. Найти числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

Z=Х× У.

4.Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(х).

Требуется:

1. Найти функцию плотности распределения f(х).

2. Найти М(х), D(x), s(х).

3. Найти вероятность Р (a< x< b).

4. Построить графики f(x) и F(х).

F(х) = , 2

a =2, b =2, 5.

5. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l =3. Составить f(х), F(х). Найти Р (0, 5< х< 2, 5) и числовые характеристики.

6. Вероятность поездки на Канары среднеобеспеченной американской семьи 0, 1. Оценить вероятность того, что из 1 000 семей поедут отдыхать от 50 до 150 семей.

7. Дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 6. Определить число таких величин, для которых вероятность отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0, 1 превысит 0, 7.

8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(х) и s(х).

Требуется:

1. Составить функцию плотности распределения и построить её график.

2. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a; b).

3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от её математического ожидания не превысит d:

М(х)= 20; s(х)= 0, 5; a= 19; b =25; d =1, 5.

Вариант 5

1. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Известно, что 3% счетов содержат ошибки. Составить закон распределения правильных счетов. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить её график. Найти вероятность того, что хотя бы один счёт будет с ошибкой.

2. В туристической компании работает 15 человек. Среди них 5 человек имеют два высших образования. Для сопровождения туристской группы случайным образом отбираются 3 человека. Составить закон распределения числа работников с двумя высшими образованиями среди отобранных. Найти числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

Z = .

4. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x).

Требуется:

1. Найти коэффициент С.

2. Найти функцию распределения F(x).

3. Найти М(х), D(x), s(х).

4. Найти вероятность Р (a< x< b).

5. Построить графики f(x) и F(х).

f(х)= , 0

a= -0, 5, b =0, 5.

5. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (3; 5). Составить f(х), F(х), построить их графики. Найти М(х), Д(х).

6. Средний вес детали в партии равен 400 граммам, а дисперсия принимается равной 1 грамму. Определить вероятность того, что наугад взятая деталь окажется по весу не менее 350 и не более 450 граммов.

7. Для определения средней продолжительности рабочего дня служащих фирмы были протестированы по одному служащему из 20 отделов. Оценить вероятность того, что отклонение средней продолжительности работы служащих из числа выбранных для проверки от средней продолжительности всех служащих превзойдёт 15 минут, если среднее квадратическое отклонение равно 5 минут.

8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(х) и s(х).

Требуется:

1. Составить функцию плотности распределения и построить её график.

2. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a; b).

3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от её математического ожидания не превысит d:

М(х)= 5; s(х)= 0, 81; a= 4; b= 7; d =2.

Вариант 6

1. Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Известно, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают 5% ошибок. Аудитор случайно отбирает 3 входящих документа. Составить закон распределения числа ошибок, выявленных аудитором. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить её график. Найти вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку.

2. Известно, что среди 10 объектов, нуждающихся в капитальном ремонте, 4 – объекты производственного назначения. Случайным образом отбираются 4 объекта для первоочередного ремонта. Составить закон распределения числа объектов производственного назначения среди отобранных.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

Z=5Х – 4У.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей F(х).

Требуется:

1. Найти функцию плотности распределения f(х).

2. Найти М(х), D(x), s(х).

3. Найти вероятность Р (a< x< b).

4. Построить графики f(x) и F(х).

F(х)= , 3

a =3, b =4.

5. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l = . Найти Р (1< х< 2) и числовые характеристики. Составить f(х), F(х).

6. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0, 12. Оценить вероятность того, что в партии из 5 500 изделий число повреждённых в пути будет составлять от 500 до 820 штук.

7. Дисперсия каждой из данных случайных величин не превышает 6. Определить число случайных величин, для которых вероятность отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий на величину не более чем 0, 5 превысит 0, 96.

8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(х) и s(х).

Требуется:

1. Составить функцию плотности распределения и построить её график.

2. Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a; b).

3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от её математического ожидания не превысит d:

М(х)= 4, 5; s(х)= 0, 05; a =3, 5; b =4, 35; d= 0, 1.

Вариант 7

1. Торговый агент в среднем контактирует с 8 потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0, 1. Составить закон распределения ежедневного числа продаж для агента. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить её график.

2. По данным статистики, из 30 предприятий общественного питания – 15 являются частными. Для контроля за качеством обслуживания случайным образом выбрали 5 предприятий. Составить закон распределения числа частных предприятий, подвергнутых контролю. Найти числовые характеристики.

3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х и У.

1. Составить закон распределения случайной величины Z.

2. Найти числовые характеристики случайной величины Z.

3. Составить функцию распределения Z и построить её график.

Z= (4Х)× У.

4. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x).

Требуется:

1. Найти коэффициент С.

2. Найти функцию распределения F(x).

3. Найти М(х), D(x), s(х).

4. Найти вероятность Р (a< x< b).

5. Построить графики f(x) и F(х).

f(х)= , 1

a = -1, b =2.

5. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (-2; 3). Составить f(х), F(х), построить их графики. Найти М(х), Д(х).

6. Дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 2. Определить количество таких величин, для которых вероятность отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не менее чем на 0, 6 превысит 0, 1.

7. Вероятность того что ребёнок в детском саду сможет выучить английский язык, равна 0, 09. Оценить вероятность того, что среди 540 детей, английский язык смогут выучить от 30 до 68 детей.