Решение. Построим зоны Френеля. Пусть - радиус нулевой зоны Френеля, а - радиус последней зоны Френеля, укладывающейся в отверстии:

Построим зоны Френеля. Пусть - радиус нулевой зоны Френеля, а - радиус последней зоны Френеля, укладывающейся в отверстии:

, (1)

где т – число зон Френеля.

Из прямоугольного треугольника АВМ можно определить

. (2)

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем

Величиной можно пренебречь как величиной второго порядка малости; - квадрат радиуса отверстия.

Тогда

Число зон

(3)

Вычисления:

зон.

Ответ: число зон, укладывающихся в отверстии, четное, следовательно, в центре экрана наблюдается минимум освещенности (темное пятно).

Анализ решения: из выражения (3) видно, что число зон, укладывающихся в отверстии, зависит от расстояния данного отверстия до экрана. При увеличении расстояния число зон уменьшается. Увеличивая расстояние , можно получить т = 7 зон в отверстии; получится светлое пятно в центре. Если дальше увеличивать расстояние можно получить 6 зон (min), 5 зон (max), т.е. при увеличении расстояния в центре экрана чередуются светлое и темное пятна. Последнее четное число зон равно двум, следовательно, если еще увеличивать расстояние, то зоны погасить друг друга полностью не смогут. При т = 2 в центре будет последний раз темное пятно. При дальнейшем увеличении т = 1 (свет), т = - тоже свет и т. д.

Задача 3. На узкую щель нормально падает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе j = 1⁰. скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?

Дано:

j = 1⁰

т = 2 (max)

Рис. 26.9

Построим зоны Френеля. Пусть а – ширина щели, b – ширина зоны. Для этого выберем из всех лучей, прошедших через щель и отклоненных вследствие дифракции (огибания) от прямолинейного распространения, лучи, идущие параллельно друг другу под углом j к первоначальному направлению. Лучи от соседних зон должны иметь разность хода (рис. 26.9). Тогда соседние зоны попарно друг друга гасят. Если число зон нечетное, то одна зона остается непогашенной и в точке экрана эта зона даст свет, т.е. получится максимум освещенности. Обозначим число зон, укладывающихся в щели , где а – ширина щели, b – ширина зоны. Из малого треугольника (прямоугольного), один катет равен , гипотенуза равна b, получим

.

Тогда

. (1)

Если число зон нечетное, т.е. Z = (2 т + 1), т = 0, 1, 2, 3..., то лучи, идущие под углом j, дадут максимум освещенности, что и требуется по условию задачи.

Условие max от одной щели:

. (2)