Уравнение движения имеет вид

при t = τ, y = 0, тогда

Все три варианта дают одинаковые уравнения движения при t = τ

Для определения решим квадратное уравнение

Корень его не учитываем, так как он не имеет физического смысла.

а) Можно найти максимальную высоту подъема камня, исходя из того, что дискриминант

Тогда а максимальное значение

м;

б) Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке своего пути.

При , имеет два значения, так как в каждой точке камень бывает дважды за время движения.

Задача 5. Камень брошен с высоты h =2, 1 м под углом a = 45˚ к горизонту и падает на землю на расстоянии S = 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость V ₀ камня, время полета τ и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

Дано: Решение

h = 2, 1 м

a = 45˚

S = 42 м

V ₀ -? τ -? H -?

R ₁ и R ₂ -?

Рис.1.6

Движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали (по оси Х) и равнопеременного по вертикали (по оси Y). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания. Ось Y направлена вертикально вверх.

Для движения камня по оси Х получаем ; при t = τ x = S.

Следовательно,

(1)

Для движения по оси OY

(2)

. (3)

При t = τ, y = - h, поэтому

(4)

(5)

Решая совместно уравнения (1) и (4), находим τ и V ₀:

1) τ =

2)

3) Высоту подъёма камня можно найти из условия H = h + y_max.

При

отсюда ( – время подъёма камня).

Подставив в уравнение (4), получим тогда

м.

4) Для определения радиуса кривизны траектории в данной точке нужно определить по величине и направлению вектор полного ускорения. В верхней точке траектории , следовательно, векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это значит, что a_τ = 0, a_n = g. Зная ускорение и скорость, найдём радиус кривизны траектории в верхней точке.

; и

В конечной точке траектории синус угла β между векторами скорости и ускорения может быть выражен как показано на рис.1.7.

Разложим вектор полного ускорения на нормальное и тангенциальное, получим

Радиус траектории в этой точке находится из соотношения т.е.

Тогда R ₂ = 63 м.

Ответ:

Задача 6. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 10 + 20 t – 2 t ² рад. Найти: 1) Угловую скорость, угловое ускорение и полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0, 1 м от оси вращения, для момента времени = 4 с (рис. 1.8). 2) Через сколько времени тело остановится? 3)Сколько оборотов сделает до остановки?

Дано:

φ = 10 + 20 t – 2 t ² рад

R = 0, 1 м

= 4 c

w = 0

-? ε -? a -? t -? N -?

Рис. 1.8