Ошибки выборки

При выборочном наблюдении должна быть обеспечена слу­чайность отбора единиц. Каждая единица должна иметь равную с другими возможность быть отобранной. Именно на этом ос­новывается собственно-случайная выборка.

К собственно-случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности (без предварительного рас­членения ее на какие-либо группы) посредством жеребьевки (преимущественно) или какого-либо иного подобного спосо­ба, например, с помощью таблицы случайных чисел. Случай­ный отбор — это отбор не беспорядочный. Принцип случай­ности предполагает, что на включение или исключение объ­екта из выборки не может повлиять какой-либо фактор, кро­ме случая. Примером собственно-случайного отбора могут служить тиражи выигрышей: из общего количества выпущен­ных билетов наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. Причем всем номерам обеспечивается равная возможность попадания в выборку. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля, выборки есть отношение числа единиц выборочной со­вокупности к числу единиц генеральной совокупности:

Так, при 5%-ной выборке из партии деталей в 1000 ед. объ­ем выборки п составляет 50 ед., а при 10%-ной выборке -100 ед. и т.д. При правильной научной организации выборки ошибки репрезентативности можно свести к минимальном значениям, в результате — выборочное наблюдение становится достаточно точным.

Собственно-случайный отбор «в чистом виде» применяет­ся в практике выборочного наблюдения редко, но он является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного наблюдения.

Рассмотрим некоторые вопросы теории выборочного метода и формулы ошибок для простой случайной выборки.

Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два основных вида обобщающих показателей: среднюю величину ко­личественного признака и относительную величину альтернативного признака (долю или удельный вес единиц в статистической сово­купности, которые отличаются от всех других единиц этой сово­купности только наличием изучаемого признака).

Выборочная доля (w), или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком т, к общему числу единиц выборочной совокупности п:

w = т/п.

Например, если из 100 деталей выборки (и = 100), 95 деталей оказались стандартными (т =95), то выборочная доля

w = 95 / 100 = 0, 95.

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки или, иначе говоря, ошибка репрезента­тивности представляет собой разность соответствующих выбо­рочных и генеральных характеристик:

• для средней количественного признака

(1)

• для доли (альтернативного признака)

(2)

Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюде­ниям. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степе­ни выборочные показатели отличаются от соответствующих ге­неральных показателей.

Выборочная средняя и выборочная доля по своей сути яв­ляются случайными величинами, которые могут принимать раз­личные значения в зависимости от того, какие единицы сово­купности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возмож­ных ошибок — среднюю ошибку выборки.

От чего зависит средняя ошибка выборки! При соблюдении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, всё более точно характеризуем всю генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки также зависит от степени варьи­рования изучаемого признака. Степень варьирования, как из­вестно, характеризуется дисперсией или w(1 -w) — для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка вы­борки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варь­ирует) средняя ошибка выборки равна нулю, т. е. любая еди­ница генеральной совокупности будет совершенно точно ха­рактеризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки от ее объема и степе­ни варьирования признака отражена в формулах, с помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в услови­ях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики (х, р) неизвестны, и следовательно, не представляется возмож­ным нахождение реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (1), (2).

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

• для средней количественного признака

(3)

• для доли (альтернативного признака)

(4)

Поскольку практически дисперсия признака в генеральной совокупности точно неизвестна, на практике пользуются

значением дисперсии S², рассчитанным для выборочной сово­купности на основании закона больших чисел, согласно кото­рому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики гене­ральной совокупности.

Таким образом, расчетные формулы средней ошиб­ки выборки при случайном повторном отборе будут следующие:

• для средней количественного признака

(5)

• для доли (альтернативного признака)

(6)

Однако дисперсия выборочной совокупности не равна диспер­сии генеральной совокупности, и следовательно, средние ошибки выборки, рассчитанные по формулам (5) и (6), будут прибли­женными. Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается через выборочную следующим соотношением:

(7)

Так как п / (n -1) при достаточно больших п — величина, близкая к единице, то можно принять, что = S², а следова­тельно, в практических расчетах средних ошибок выборки мож­но использовать формулы (5) и (6). И только в случаях ма­лой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необхо­димо учитывать коэффициент п/(п-1) и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:

(8)

При случайном бесповторном отборе в приведенные выше формулы расчета средних ошибок выборки необходимо подко­ренное выражение умножить на 1-(п/N), поскольку в процес­се бесповторной выборки сокращается численность единиц ге­неральной совокупности. Следовательно, для бесповторной вы­борки расчетные формулы средней ошибки выборки примут такой вид:

• для средней количественного признака

(9)

• для доли (альтернативного признака)

(10)

Так как п всегда меньше N, то дополнительный множи­тель 1 - (n / N) всегда будет меньше единицы. Отсюда следу­ет, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. В то же время при сравнительно небольшом проценте выборки этот множитель близок к еди­нице (например, при 5%-ной выборке он равен 0, 95; при 2%-ной — 0, 98 и т.д.). Поэтому иногда на практике пользуются для определения средней ошибки выборки формулами (5) и (6) без указанного множителя, хотя выборку и организуют как бесповторную. Это имеет место в тех случаях, когда число единиц генеральной совокупности N неизвестно или безгра­нично, или когда п очень мало по сравнению с N, и по су­ществу, введение дополнительного множителя, близкого по значению к единице, практически не повлияет на значение средней ошибки выборки.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по ней­тральному признаку на равные интервалы (группы), произво­дится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Чтобы избежать систематиче­ской ошибки, отбираться должна единица, которая находится в середине каждой группы.

При организации механического отбора единицы совокуп­ности предварительно располагают (обычно в списке) в опре­деленном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания значений какого-либо по­казателя, не связанного с изучаемым свойством, и т.д.), после чего отбирают заданное число единиц механически, через оп­ределенный итервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так, при 2%-ной выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1: 0, 02), при 5 %-ной выборке — каждая 20-я едини­ца (1: 0, 05), например, сходящая со станка деталь.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственно-случайному. По­этому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной вы­борки (9), (10).

Для отбора единиц из неоднородной совокупности применя­ется, так называемая типическая выборка, которая используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, влияющим на изучаемые показатели.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль и подотрасль, формы собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении слож­ных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании семейных бюджетов рабочих и служащих в отдель­ных отраслях экономики, производительности труда рабочих пред­приятия, представленных отдельными группами по квалификации.

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выбороч­ную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представи­тельство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки,

При определении средней ошибки типической выборки в ка­честве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю ошибку выборки находят по формулам:

• для средней количественного признака

(повторный отбор); (11)

(бесповторный отбор); (12)

• для доли (альтернативного признака)

(повторный отбор); (13)

(бесповторный отбор), (14)

где — средняя из внутригрупповых дисперсий по вы­борочной совокупности;

- средняя из внутригрупповых дисперсий доли (альтер­нативного

признака) по выборочной совокупности.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генераль­ной совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем, чтобы в таких группах подвергать наблюде­нию все без исключения единицы.

Применение серийной выборки обусловлено тем, что многие товары для их транспортировки, хранения и продажи упаковываются в пачки, ящики и т.п. Поэтому при контроле качества упакованного товара рациональнее проверить не­сколько упаковок (серий), чем из всех упаковок отбирать не­обходимое количество товара.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключе­ния единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Среднюю ошибку выборки для средней количественного при­знака при серийном отборе находят по формулам:

(повторный отбор); (15)

(бесповторный отбор), (16)

где r - число отобранных серий; R - общее число серий.

Межгрупповую дисперсию серийной выборки вычисляют сле­дующим образом:

где — средняя i-й серии; - общая средняя по всей выбо­рочной совокупности.

Средняя ошибка выборки для доли (альтернативного при­знака) при серийном отборе:

(повторный отбор); (17)

(бесповторный отбор). (18)

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию доли серийной вы­борки определяют по формуле:

(19)

где w _i - доля признака в i-и серии; - общая доля признака во всей выборочной совокупности.

В практике статистических обследований помимо рассмот­ренных ранее способов отбора применяется их комбинация (комбинированный отбор).