Повторные испытания.

Пусть производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, тогда такие испытания называют независимыми относительно А.

Пусть теперь производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти либо не произойти, причем вероятность появления этого события в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли. Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления соответственно равна q=1-p.

В условиях схемы Бернулли вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно m раз, вычисляется по формуле:

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пользоваться этой формулой, когда число испытаний достаточно велико (n> 15), затруднительно, и в этих случаях используют локальную теорему Лапласа.

Теорема: Пусть р вероятность наступления события А (0< p< 1), тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при n испытаниях появится ровно m раз выражается приближенной формулой Лапласа:

Где q=1-p, , причем и для этой функции существует таблица значений.

На вопрос о том: какова вероятность, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность появления р, при n испытаниях (n достаточно велико) появится не менее k раз и не более l раз, отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема: Пусть р вероятность наступления события А (0< p< 1), тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при n испытаниях появится от k до l раз, выражается формулой:

, где , .

Существует функция Лапласа , которая является нечетной ) и имеет таблицу значений при x> 0. С учетом этого интегральная формула Лапласа имеет вид:

.