Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств. Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:

n=2^N,

где N - количество множеств.

Таким образом, если в задаче используется два множества, то n=2²=4, если три множества, то n=2³=8, если четыре множества, то n=2⁴=16. Поэтому диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.

Множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 множества), помещенных в прямоугольник (универсум).

Универсальное множество (универсум) U (в контексте задачи) - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.

Пустое множество Ø (в контексте задачи) - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.

На диаграмме строят пересекающиеся множества, заключают их в универсум. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.

Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.

Разберем примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.

Пример 1

Пусть есть следующие множества чисел:

А={1, 2, 3, 4}

В={3, 4, 5, 6}

Универсум U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В:

Определим области, и числа которые им принадлежат:

Пример 2

Пусть есть следующие множества чисел:

А={1, 2, 3, 4}

В={3, 4, 5, 6}

С={1, 3, 6, 7}

Универсум U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С:

Определим области, и числа которые им принадлежат:

Пример 3

Пусть есть следующие множества чисел:

А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

В={3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13}

С={0, 2, 3, 7, 8, 10, 11, 12}

D={0, 3, 4, 6, 9, 10, 11, 14}

Универсум U={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D:

Определим области, и числа которые им принадлежат: