Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность имеет следующий вид: График плотности распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], если ее плотность имеет следующий вид:

График плотности распределения показан на рис. 2.9.

φ (х)

Рис. 2.9
Найдем значение постоянной С. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то
,
откуда С = 1/(b – a).
Пусть [ α, β ] Ì [ a, b ]. Тогда , т.е.
, (2.9)
где L – длина (линейная мера) всего отрезка [ a, b ] и – длина частичного отрезка [ α, β ].
Значения случайной величины Х, т.е. точки х отрезка [ a, b ], можно рассматривать как всевозможные элементарные исходы некоторого испытания. Пусть событие А состоит в том, что результат испытания принадлежит отрезку [ α, β ] Ì [ a, b ]. Тогда точки отрезка [ α, β ] есть благоприятные элементарные исходы события А.
Согласно формуле (2.9) имеем геометрическое определение вероятности: под вероятностью события А понимается отношение меры множества элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к мере L множества всех возможных элементарных исходов в предположении, что они равновозможны:
.
Это определение естественно переносит классическое определение вероятности на случай бесконечного числа элементарных исходов (случаев).
Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда элементарные исходы испытания представляют собой точки плоскости или пространства.
Задача. В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус. Какова вероятность того, что пассажиру, пришедшему на эту остановку в момент времени t = 0, придется ожидать автобус не более 10 минут?
Решение. Здесь множество всех элементарных исходов образует отрезок [0, 1], временная длина которого L =1, а множество благоприятных элементарных исходов составляет отрезок [0, 1/6] временной длины =1/6.
Поэтому искомая вероятность есть
.
Задача. В квадрат К со стороной а с вписанным в него кругом S (рис. 3.10) случайно бросается материальная точка М. Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг S?
Решение. Здесь площадь квадрата К = а ², а площадь круга .
За искомую вероятность естественно принять отношение
.
Эта вероятность, а следовательно, и число π, очевидно, могут быть определены экспериментально.