Модель второго порядка

Передаточная функция и переходная характеристика модели имеют вид

W_м(s) = , (38)

h(t) = K^. . (39)

Рассмотрим метод Олденбурга и Сарториуса. Значения К определяются по формуле (12), t - по переходной кривой (рисунок 10). Метод основан на соотношениях, связывающих характерные точки h(t) с постоянными времени Т₁ и Т₂ модели (38), (39). Для определения Т₁ и Т₂ в точке перегиба к переходной кривой (рисунок 9) проводится касательная и определяются константы Т_С и Т_А. По определению в точке перегиба вторая производная Dу⁽²⁾(t_w) равна нулю

Dх^.h⁽²⁾(t_w) = 0. (40)

Используя константы Т_С и Т_А и рисунок 10, запишем выражения для первой производной h(t) в точке перегиба

Dх ^. h⁽¹⁾(t_w) = y_уст / Т_А = tg a, (41)

Dх ^. h⁽¹⁾(t_w) = (y_уст - Dy(t_w)) / Т_C = tg a. (42)

Определив из (38), (39) выражения h(t_w), h⁽¹⁾(t_w) и h⁽²⁾(t_w), подставив их в (40) и (41), исключив (t_w - t), получим систему

, (43)

l₁ + l₂ = g,

где l₁ = Т₁ / Т_А, l₂ = Т₂ / Т_А, g = Т_С / Т_А.

Система (43) является исходной для определения Т₁ и Т₂. Ее решение удобно производить графически с помощью номограммы (рисунок 10).

Первое уравнение системы (43) определяет так называемую L‑ кривую, второе - прямую, отсекающую по осям координат отрезки длиной g (рисунок 10). Координаты точек пересечения прямой l₁ + l₂ = g и L-кривой определяют значения l₁ = Т₁ / Т_А и l₂ = Т₂ / Т_А.

Порядок определения постоянных времени Т₁ и Т₂ следующий:

1) проводится касательная к Dу(t) в точке перегиба;

2) определяются константы Т_С и Т_А и значение g = Т_С / Т_А;

3) через точки с координатами (0, g) и (g, 0) проводится прямая (рисунок 11) и по координатам точек пересечения определяются Т₁ и Т₂.

Отметим, что для модели (38), (39) значение g лежит в пределах 0, 73 £ g £ 1. При g = 0, 73 прямая касается L-кривой и Т₁ = Т₂ = 0, 365 ^. Т_А. Если g < 0, 73, то модели вида (38), (39) не существует. В этом случае необходимо использовать модель другого вида [3].

Рисунок 9 - Метод Олденбурга и Сарториуса

Рисунок 10 - Графическое решение с помощью номограммы