Линеаризация моделей динамики

Рассмотрим эту процедуру на примере (9):

у⁽²⁾ = F(у, у⁽¹⁾, х, х⁽¹⁾).

Линеаризацию модели динамики производят, как правило, относительно некоторого номинального статического режима (х_н, у_н):

0 = F(у_н, 0, х_н, 0).

При этом все аргументы функции F, т.е. у, х и их производные, рассматриваются как независимые переменные. Переходя к отклонениям и принимая во внимание, что х_н и у_н постоянны, получим:

х = х_н + Dх, х⁽¹⁾ = (х_н + Dх)⁽¹⁾ = 0 + Dх⁽¹⁾,

у = у_н + Dу, у⁽¹⁾ = (у_н + Dу)⁽¹⁾ = 0 + Dу⁽¹⁾, у⁽²⁾ = 0 + Dу⁽²⁾.

Разложим теперь функцию F в ряд Тейлора в окрестности (у_н, 0, х_н, 0) и, оставляя, как и раньше, линейные члены, получим:

Dу⁽²⁾ Dу + Dу⁽¹⁾ + Dх + Dх⁽¹⁾. (20)

Перенесем теперь слагаемые, содержащие Dу и Dу⁽¹⁾, влево и получим линеаризованное уравнение динамики:

а₂*Dу⁽²⁾(t) + а₁*Dу⁽¹⁾(t) + а₀*Dу(t) = b₁*Dx⁽¹⁾(t) + b₀*Dx(t), (21)

где а₀ = - , а₁ = - , а₂ = 1, b₀ = , b₁ = .

В общем случае линеаризованное уравнение динамики имеет вид

. (22)

Если положить в уравнениях (21) и (22) все производные равными 0, получим модель статики

а₀*Dу = b₀*Dх или Dу = К*Dх, (23)

где К = b₀ / а₀.

Обычно для упрощения записи символ «D» перед переменными в уравнениях статики и динамики опускают, вместо Dх и Dу записывают х и у и т.д.

Однако необходимо всегда помнить, что х и у являются отклонением переменных от номинальных значений х_н и у_н, а условия х = 0 и у = 0 следует понимать как х = х_н и у = у_н.

Дифференциальному уравнению (22) соответствует передаточная функция

, (24)

определяемая как отношение изображений по Лапласу выходного Y(s) и входного X(s) сигналов при нулевых начальных условиях.

При наличии запаздывания t в передаче сигналов передаточная функция имеет вид

. (25)

Сопоставляя выражения (23) и (24), легко получить, что при а₀ ¹ 0

К = W(0) = . (26)

Дифференциальному уравнению (24) при нулевых начальных условиях соответствует операторное уравнение динамики

Y(s) = W(s)*X(s). (27)

Во временной области уравнению (27) соответствует уравнение свертки

y(t) = , (28)

где w(U) = L^-1{W(s)} - импульсная характеристика, оригинал передаточной функции;

L^-1 - символ обратного преобразования Лапласа.

Для звена с несколькими входами операторное уравнение имеет вид

Y(s) = W_k(s) X_k(s), (29)

где W_k(s) - передаточная функция звена по k-му входу.

В соответствии с (23) и (29) можно записать и уравнение статики

у = W_k(0) X_k. (30)

Передаточная функция является наиболее удобной формой модели динамики.

Линеаризованные модели позволяют исследовать влияние отдельного входа на выходной сигнал независимо от остальных.

Для этого достаточно зафиксировать все входные воздействия, кроме одного, равными номинальным значениям (принять отклонения равными нулю) и определить реакцию модели на интересующий сигнал х_k:

Y_k(s) = W_k(s) X_k(s).

Реакцию на сумму воздействий можно найти как сумму реакций на каждый сигнал в отдельности. В этом заключается принцип суперпозиции (наложения), широко используемый в теории управления. Необходимо, однако, всегда помнить, что коэффициенты линеаризованной модели зависят от номинального режима и изменяются с изменением последнего [4].