Линеаризация моделей статики

Процедура линеаризации модели, заданной графически, представлена на рисунке 4. Линеаризация эквивалентна переносу начала координат в точку номинального режима (х_н, у_н) и замене кривой отрезком касательной.

Линеаризованное уравнение (уравнение в отклонениях) имеет вид:

Dу = К*Dх, (11)

где К = tg a = .

Рисунок 4 - Процедура линеаризации модели, заданной графически

Константа К называется коэффициентом усиления (передачи) и связывает между собой отклонения входной и выходной переменных. Коэффициент усиления можно определить экспериментально, если зарегистрировать значения переменных для двух близких статических режимов. Тогда

К , (12)

где Dу = у₁ - у₀, Dх = х₁ - х₀.

Необходимо лишь, чтобы отклонения Dх и Dу были малы (рисунок 4).

Пусть теперь модель статики задана аналитической функцией, например, в виде

у = F(х). (13)

Разложим F(х) в ряд Тейлора в точке х = х_н и, переходя к отклонениям Dх = х - х_н и Dу = у - у_н, получим

у_н + Dу = F(х_н) + (14)

Поскольку Dх мало, то все члены ряда (14), содержащие Dх в степени 2 и выше, можно отбросить.

Тогда, учитывая, что у_н = F(х_н), получим модель в отклонениях

Dу = К*Dх, (15)

где К имеет такой же смысл, что и в (11).

Аналогично линеаризуется модель звена с r входами (7). В этом случае производится разложение функции F(×) в многомерный ряд Тейлора в точке номинального режима (х₁ = х_1н, …, х_r = х_rн). Сохранив в разложении только линейные члены, получим

Dу + + … + (16)

или Dу = К₁*Dх₁ + К₂*Dх₂ + … + К_r*Dх_r, (17)

где К₁ = , К₂ = , …, К_r = .

Коэффициенты К₁, К₂, … К_r называются коэффициентами усиления по первому, второму и т.д. входам.

Модель (17) называется линеаризованной моделью статики и описывает поведение звена в окрестности номинального режима.

С изменением режима изменяются коэффициенты модели (17). Рассмотрим случай, когда модель задана в неявной форме (8)

F(у, х₁, х₂, …, х_r) = 0.

Для решения задачи необходимо сначала по заданным х_1н, х_2н, …, х_rн найти у_н как корень уравнения F = 0.

Затем, разлагая функцию F в ряд Тейлора по всем своим аргументам в точке (у_н, х_1н, х_2н, …, х_rн) и, отбрасывая члены высшей степени малости, получим:

Dу + Dх₁ + … + Dх_r = 0. (18)

Поделив теперь (18) на коэффициенты при Dу, вновь придем к уравнению (17):

Dу = К₁*Dх₁ + К₂*Dх₂ + … + К_r*Dх_r, (19)

где К₁ = - / и т.д.