Собственные колебания в системах с n-степенями свободы

Положение масс при свободном движении системы определяет ее форму в любой момент времени. Поскольку свободное движение масс в системе с n степенями свободы является сложным, состоящим из n колебаний с n различными частотами ω _i, то форма движения системы в общем случае переменна-отношение перемещений отдельных масс непрерывно меняются. Однако всегда можно задать такие начальные условия движения системы, чтобы колебания всех масс происходили с одной какой-либо частотой ω _i из спектра частот. Такие колебания и соответствующие им формы называются главными или нормальными. Очевидно, что число главных форм колебаний равно числу степеней свободы системы. В главных формах колебаний отношения перемещений любых масс всегда постоянны и не зависят от времени. Следовательно, главные формы определяются перемещениями y_1z(t)…y_nz(t) или их отношениями в любой момент времени.

Главную форму колебаний с частотой ω _i можно определить перемещениями масс от действующих на систему инерционных сил (рис.55а). Поделив их на силу инерции какой-либо, например первой, массы, получим схему сил, определяющую главную форму, в которой силы зависят не от самих перемещений, а от их отношений p_ki=y_ki: y_1i (рис.55б). Отметим, что при равных массах отношение сил, определяющих главную форму, равно отношению перемещений под этими силами. Так, например, сила P_k (рис.55б) равна y_ki: y_1i. Покажем теперь, что перемещение любой массы в главной форме или всех масс вместе можно определять, как перемещение некоторой воображаемой системы с одной степенью свободы. Дифференциальное уравнение колебаний массы m_k в главной форме с частотой ω _i:

По (3.76) легко определяется частота, если задана главная форма колебаний. Это выражение можно представить еще так:

Масса M_ki – это приведенная масса, соответствующая частоте ω _i , которую можно поместить на месте массы m_k, а остальные массы с балки снять, чтобы получить систему с одной степенью свободы.

9. Определение характеристик колебательного движения. Частотный опредлелитель:

m1, m2- относ-ся к силе инерции

w1, w2-частота собств-х колебаний (спектр частот)

Частота вынужденных колебаний:

Техническая частота колебаний:

Обязательно переводим технич.в круговую:

где n – технич. частота

Период

Амплитуда- наибольшее отклонение периодически изменяющейся величины от нее нулевого положения.

Амплитуда свободных колебаний без учета сил сопротивления.

V₀-нач. скорость