Площадь фигуры. Вывод формулы площади прямоугольника. Равносоставленность и равновеликость фигур.

Пусть М – множествомножество всех многоугольников на плоскости. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников, если задано отображение S: M→ R+, удовлетворяющее условиям:

1. Существует многоугольник Р0 такой, что S (P0) = 1. Э Р0 €M: S(P0) = 1, где Р0 – квадрат со стороной, равной единице.

2. ¥ F1, F2 (многоугольники) € M: F1 = F2 => S(F1) = S(F2). Инвариантность.

3. G = F1 + F2 => S (G) = S(F1) + S(F2) Аддитивность меры.

S(F) – мера (площадь) многоугольника F.

Теорема: Если установлено измерение многоугольников, то площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Следствия этой теоремы:

1. Если установлено измерение многоугольников, то площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

S ABCD = BH*EF =?

Выполним дополнительное построение: через точку E проведем перпендикуляр

к верхнему и нижнему основаниям.

То же – через точку F.

▲ AEA0 = ▲ BEB0; ▲ CFC0= ▲ DED0;

Рассмотрим  ABCD: S ABCD = S▲ AEA0 +

S⌂ A0EBCFD0 + S▲ D0FD (по свойству аддитивности)

= S▲ B0BE + S⌂ A0EBCFD0 + S▲ CFC0

= S  B0C0D0A0 = B0C0*B0A0

EF = B0C0 BH = B0A0 ЧТД.

2. Если установлено измерение многоугольников, то площадь треугольника равна произведению 1\2 любой его стороны на соответствующую высоту.

S▲ ABC = AC*BH =?

Сделаем дополнительное построение.

Проведем среднюю линию = 1\2 AC.

Из F – построим перпендикуляр к AC;

из B – перпендикуляр к FC0.

▲ CC0F = ▲ BB0F;

S▲ ABC = S ABFC0 + S▲ C0FC =

= S ABFC0 + S▲ BB0F = S⌂ ABB0C0 =

= EF*BH = 1\2AC*BH ЧТД.

3. Если установлено измерение многоугольников, то площадь параллелограмма равна произведению любой его стороны на соответствующую высоту.

SABCD = AD*BH =?

Проведем диагональ BD.

▲ ABD = ▲ BCD;

S ABCD = S▲ ABD +S▲ BCD;

S▲ ABD = 1\2AD*BH => SABCD =

= (1\2 AD*BH)*2 = AD*BH ЧТД.

Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.

Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разложить на одно и то же число соответственно равных многоугольников. Отношение равносоставленности будем обозначать через ρ: F1ρ F2.

Свойства отношения равносоставленности:

1. Если два многоугольника равносоставлены, то они равновелики. Доказательство следует из определения площади многоугольника.

2. Если два многоугольника равносоставлены, то один из них не может лежать внутри другого.

3. Отношение равносоставленности есть отношение эквивалентности, то есть:

Fρ F (рефлексивность – многоугольник равносоставлен сам с собой).

F1ρ F2 => F2ρ F1 (симметричность)

F1ρ F2 и F2ρ F3 => F1ρ F3 (транзитивность).

Теорема Бояи – Гервина: равновеликие многоугольники равносоставлены.

Лемма 1: Если два параллелограмма

имеют одно и то же основание

и равные высоты,

то они равносоставлены.

Лемма 2: Два треугольника

с одним и тем же основанием

и равными высотами равносоставлены.

Лемма 3: Любые два треугольника, если они равновелики, то они равносоставлены.

Лемма 4: Всякий многоугольник равносоставлен с равновеликим ему треугольником.

Доказательство теоремы Бояи – Гервина. Пусть даны многоугольники F и P. S(F) = S(P) По лемме 4, существует треугольник ▲ P равновеликий P: S(▲ P) = S(P) и следовательно равносоставленный с ним: ▲ Pρ P. Аналогично существует ▲ F: S(▲ F) = S(F), и следовательно: ▲ Fρ F.

▲ P (1) S(▲ P) = S(P) => ▲ Pρ P;

▲ F (2) S(▲ F) = S(F) => ▲ Fρ F;

S(F) = S(P), из (1): S(P) = S(▲ P), следовательно: (3) S(F) = S(▲ P).

S(F) = S(P), из (2): S(F) = S(▲ F), следовательно: (4) S(P) = S(▲ F).

Из (3), (4): S(▲ P) = S(▲ F).

Из (1) Pρ ▲ P; ▲ Pρ ▲ F, следовательно Pρ ▲ F.

Pρ ▲ F; ▲ Fρ F, следовательно Pρ F.

3. Методика изучения геометрического материала в начальном курсе математики.

Методико-математические основы изучения геометрического материала.

Математическое развития младших школьников не возможно без приобщения их к геометрии. В начальных классах ставиться задача, расширить и уточнить представления учащихся о геометрических фигурах, развивать их геометрическое видение. Для осуществления методической работы направленной на решение этих задач, учителю необходимо знать, что геометрия строится на базе основных понятий и аксиом. А новые факты – теоремы, вводятся дедуктивным путем.

Изучить геометрический материал на различных уровнях абстрактности в зависимости от того, какие выявляются основные понятия, аксиомы. Школьный курс геометрии - э. евклидова геометрия на плоскости и в пространстве. Основные понятия: точка, прямая, плоскость, отношение принадлежности для точек, прямых и плоскости выражено словом «принадлежность».

Отношение порядка для точек на прямой выражено следующими словами: «лежать между элементами». Понятия диаметра для отрезков и градусная мера для углов. Эти понятия не определяются, все, что о них известно выражается в аксиомах.

Особенностью геометрии построенной на таких основах, она опирается на понятия ее величины и ее измерения.

Эта особенность находит свое выражение и в начальных классах, где формирование представлений о геометрических фигурах связано с изучением длины и площади. Геометрический материал включает понятия прямая ломанная, прямая, многоугольник, прямоугольник, квадрат, треугольник. Знакомство с этими фигурами осуществляется на уровне представлений, ученики учатся узнавать фигуры, выделяют некоторые свойства, учатся изображать фигуры на клетчатой бумаге. Учитель сам должен знать и учитывать те подходы к изучению геометрических фигур, которые известны в школьном курсе геометрии.

Отрезок – вводится, через понятия прямой.

Отрезком АВ, называется часть прямой а, точками, которой являются все точки х этой прямой, лежащие между точками А и В. Точки А и В, называются концами отрезка. В средней школе - Отрезок представляется нам множеством точек х, обладающих свойствами лежать между точками А и В. Принимается, что каждый отрезок имеет определенную длину больше нуля, и длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается. Разбивается каждой его точкой.

Два отрезка называются равными, если имеют d1= d2.

Нач. школа - Ученику трудно дифференцировать понятия, прямая отрезок. Понимание отрезка через прямую сложно. Отождествляется понятие.

К определению отрезка подходят с практической точки зрения, показывают на наглядном уровне (образ натянутой нити) – так как не требует предварительно понятия бесконечной прямой и соответствует историческому пути- понятия отрезка. Наглядный уровень, образ полоски, не имеющей ширины.

Угол – можно определить разными способами:

1. Угол – это фигура, которая состоит из двух различных лучей с одним началом. Это точка – вершина угла, а лучи - стороны. Обозначаются первой вершиной или ее сторонами (3 точки). Углы измеряются в градусах. Углы называются равными. Если имеют одинаковую меру в градусах.

2. Углом называется часть плоскости, ограниченная разными лучами, исходями из одной точки. Эти лучи, стороны угла. Существует два угла на плоскости ограниченными данными лучами, называются дополнительными. Если лучи не образуют многоточия, то один угол меньше другого – плоскостной угол.

В начальных классах – путем показа. Определения не сообщаются. При выполнении упражнения они должны понимать (определения). Предлагаем сделать из карандашей модель – 1 определение. Вырезать из бумаги – 2 определение.

Треугольник

1) Треугольник – фигура, которая состоит из трех точек. Не лежащих на одной прямой и трех попарно соединяющих их отрезков. Точки, равные вершины, а отрезки стороны. Обозначаются вершинами. Треугольники равны, если соответствующие стороны, соответствующие углы равны.

2) Треугольником, называется часть плоскости ограниченная тремя отрезками попарно соединенными тремя точками не лежащими на одной прямой – плоский треугольник.

Говоря о треугольнике, как о …. плоскости, имеет ввиду ту часть, которая заштрихована. Понятие треугольника в начальной школе, строго не определяется, и аналогично поступают и с треугольником.

Четырехугольником АВСД, называется фигура, которая состоит из четырех точек А, В, С, Д. Три из которых не лежат на одной прямой и четырех попарно не пересекающихся отрезков АВ, ВС, СД, ДА. Соединения эти, точки.

Точки А, В, С, Д – вершины, а отрезки – стороны. Противолежащие вершины А, Д, противопол вершины. ВС и ДА –противолежащие стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники. В одной плоскости относительно каждой прямой соединение одной из его сторон. Сама прямая принадлежит полуплоскости.

Черытерехугольником, называется часть плоскости, ограниченная четырьмя попарно не пересекающимися отрезками, соединяющими четыре точки. Три из которых не лежат на одной прямой. ……

В школьном курсе рассматриваются некоторые виды выпуклых четырехугольников – параллелограмм, трапеция. Ромб. В начальных классах прямоугольник, квадрат, определяют через родовое и видовое отличие. Прямоугольник, это четырехугольник у которого все углы прямые. Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Многоугольник. Базируется на определении ломанной. Ломанной, ….., называется фигура, которая состоит из точек ……. И соединяющих их отрезков ……. Точки – вершины ломанной, а отрезки – звенья ломанной. Ломанная, называется простой, если не имеет самопересечений. ………………………. Замкнутая – если концы совпадают.

1. Многоугольником называется простая замкнутая ломанная, если ее соседние звенья, не лежат на одной прямой.

2. Плоским многоугольником и многоугольной плоскостью, называется часть плоскости, ограниченная многоугольником. Говоря о многоугольнике, как части плоскости, имеют ввиду ту часть, которая заштрихована. ………

2 Методико - процессуальные основы. В основе организации деятельности школьников направленной на усвоение элементов геометрии в начальных классах, лежат следующие положения.

I. Развитие представления о геометрических фигурах проходят два этапа.

а) характеризуется тем, что геометрические фигуры воспринимаются как целое, отношение между элементами одной фигуры и самими фигурами, еще не устанавливается школьниками.

б) на втором этапе различают элементы фигур, устанавливаются отношения между ними и между самими фигурами. На этом этапе, ученики могут распознавать фигуры по их свойствам и устанавливать между ними отношения на наглядно-образной основе. Каждый квадрат можно назвать прямоугольником, каждый прямоуг – четырехугольником.

II. Формируя целостное представление о геометрических фигурах надо идти от реальних предметов к их моделям, а потом наоборот.

III. В основе усвоения учащимися свойств геометрических фигур лежат практические действия:

- моделирование;

- измерение;

- вычерчивание.

Используются приемы: сравнение; классификации.

Геометрический материал не выделяется в особый раздел, а последовательно по всему курсу. Общие предположения о геометрических фигурах уточняются детей при изучении концентра 10 плюс счетный материал.

Классификация фигур.

Основание для разбиения фигур на группы может служить цвет, размер, форма – логическое мышление, уточняется название, подготовка к выделению свойств фигур.

Знакомство с фигурами.

Отрезок. Понятие отрезок и точка- сформировать понятия через упражнения, чтобы правильно называли и показывали. Можно изображать на бумаге. Умение детей вычислить точку и отрезок в фигурах, на предметах окружающей обстановке.

Угол. Вырезать многоугольник заранее и при детях отрывать части, чтобы ……………………………………..

Учитель должен показать: ………………

С прямым углом знакомятся в ходе практической работы. Цветную бумагу складывают вдвое и еще раз учитель предлагает развернуть лист и дети видят: линии изгиба разделили лист на четыре угла. Учитель сообщает, что такие углы называются прямыми. Сохраняем и сравниваем с другими углами – путем наложения угла.

Можно выполнить практическую работу по нахождению прямых и непрямых углов.

В основе знакомства прямоугольника и квадрата лежат определения фигур, важно, чтобы увидели общие признаки. Сначала вычленяются существенные признаки …… установить связь между сущ-ми признаками квадрата и прямоугольника.

- распознавание;

- моделирование;

- вычерчивание.

Из нескольких фигур определяют лишнюю, на распознавание данной фигуры…………………………

Внимание-формированию представлений, знаний о многоугольнике. Дети должны понимать, что к многоугольникам можно отнести и треугольник, квадрат, прямоугольник.

Развитие детей:

-классификация геометрических фигур;

- деление фигур на части;

- на составление фигуры заданной формы;

- вычленение фигур на чертеже;

- распознавание фигур окружающей обстановке.

В процессе изучения математики, учащиеся сталкиваются с отношениями больше, меньше

Установление равенства, неравенства фигур путем наложения.

Геометрические построения………. Дети на практике знакомятся со свойствами фигур, приобретают графические навыки. Решают метрические задачи в которых обращается внимание на размеры и форму искомой фигуры.

Первые попытки включения геометрического материала кон. 18в.

Во втор половине 19 в начался обсуждаться вопрос о введении пропедевтического курса в среднюю школу. Позднее разработана программа для ……….. классных народных училищ (1901г).

1918 г. появилось пособие Кулишера «Методика и дидактика подготовительного курса геометрии», подчеркивается необходимость создания у учеников запаса представлений относящихся к области формы, размера и взаимного расположения предметов и их частей. Автор на конкретных предметах раскрывает сущность лабораторного метода, вводит подвижные модели, указывает на связь между …….

В 1923 г Кавун опубликовал начальный курс геометрии для раскрытия пространственной интуиции и логического мышления. Рассмотрение геометрии тел куба, учащиеся как- бы снимают грани, приводят к понятию вершина угла, квадрата, стороны, плоскость. Сдвигая, раздвигая стороны угол=90град, ученик получает представления о видах углов. Книга была очень популярна, через 4 года вышло пособие этого же автора, «Как обучить геометрии в начальной школе начальной ступени». Затем учебник «Начальная геометрия». Были изданы новые программы. Комплексный метод, который требовал тесной связи геометрии с жизнью. В 1932 г. Единая трудовая школа отменена. Вернулась к предметным программам и интерес к геометрическому материалу упал. В наст время опирается на логическое мышление, развитие интеллекта, памяти.