Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Топологический анализ схемы электрической цепи.

Расчет электрической цепи целесообразно начинать с топологического анализа, в результате которого следует определить:

- a - число узлов;

- b - число ветвей;

- с - число главных контуров.

Схема содержит пять ветвей, в двух из которых токи определены включенными источниками тока. В схеме имеются три узла и три главных контура . Так как , то количество узловых уравнений в системе будем меньше числа уравнений для главных контуров.

В ветвях электрической цепи на необходимо выбрать направления токов. В общем случае эти направления могут быть выбраны произвольно, но обычно, направления токов в ветвях с источниками электрической энергии целесообразно выбирать по направлению действия источников. Направления токов в остальных ветвях, не содержащих источники ЭДС и тока, следует выбирать таким образом, чтобы для каждого конкретного узла были исключены ситуации, когда все токи этого узла не могут втекать в узел или все вытекать из него.

В рассматриваемой схеме неизвестными являются токи:

- - ток в ветви с сопротивлением ;

- - ток в ветви с сопротивлением ;

- - ток в ветви с сопротивлением .

Потенциал одного из узлов, например нулевого, будем считать равным нулю. Такой узел обычно называют базисным узлом. При этом потенциалы остальных узлов будут равны напряжениям между этими узлами и базисным узлом.

Составление узловых уравнений.В общем случае для электрической цепи, имеющей узлов, составляются узловых уравнений по первому закону Кирхгофа, решение которой позволяет вычислить потенциалы узлов. В общем виде формальная запись системы имеет вид:

В приведенной системе:

- gkk - собственная проводимость k-гo узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с этим узлом; эта проводимость всегда положительна;

gkj - взаимная проводимость между k-м и j-м узлами, равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы; эта проводимость при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу для цепей, не содержащих зависимых источников электрической энергии, всегда отрицательна;

Jkk - узловой ток k-го узла, равный алгебраической сумме токов источников тока, подсоединенных к k-му узлу; эти токи в алгебраической сумме берутся со знаком «плюс», если они направлены к узлу, и со знаком «минус», если направлены от узла.

В рассматриваемом примере источники электрической энергии заданы в виде источников тока. Если в схеме электрической цепи часть источников задана в виде источников ЭДС, то эти источники необходимо заменить согласно правилу эквивалентными источниками тока. Эту замену можно произвести и мысленно, без изменения схемы цепи: оставить в ветви, содержащей источник ЭДС, имеющиеся в ней сопротивления, а при определении узловых токов учесть, что между узлами рассматриваемой ветви подсоединен источник тока, ток которого равен произведению ЭДС на суммарную проводимость ветви.



В случае если какая-нибудь ветвь содержит идеальный источник ЭДС, т.е. ее сопротивление равно нулю, и, следовательно, напряжение между двумя узлами задано, целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви. В этом случае число неизвестных узловых напряжений и, следовательно, число узловых уравнений сократится на единицу.

Решив одним из известных методов систему уравнений, найдем потенциалы узлов, зная которые можно по закону Ома найти токи в ветвях.

Система уравнений узловых потенциалов может быть записана в матричной форме:

,

где ;

;

Решая это уравнение относительно матрицы , получим

Вывод: При расчете электрических цепей методом узловых потенциалов целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю, т. е. заземлить один из узлов и пронумеровать по порядку остальные узлы. Задать направления всем токам цепи согласно первого закона Кирхгофа. Определить количество уравнений в системе по формуле . Записать систему k уравнений в общем виде.

2. Вычислить узловые токи.

3. Определить собственные и взаимные проводимости узлов.

4. Подставить полученные значения в систему уравнений узловых потенциалов и решить ее.

5. Найти токи в ветвях.

6. Провести проверку решения по выполнению законов Кирхгофа для узлов и контуров цепи.



Проведем расчет электрической схемы, взятой в качестве примера.

В рассматриваемом примере число узловых уравнений равно двум. Узловые уравнения составляются для узла 1 и узла 2. С учетом выбранных направлений токов в ветвях система узловых уравнений будет иметь вид:

Выражение токов ветвей через потенциалы узлов. Ток в любой ветви может быть выражен по закону Ома через произведение разности потенциалов узлов с номером n и m, к которым подключена ветвь, и проводимости этой ветви . В общем случае формальная запись имеет вид:

Для анализируемой цепи система узловых уравнений примет вид

Преобразуя уравнения и приводя подобные можно представить узловые уравнения как алгебраическую сумму произведений потенциалов узлов и узловых проводимостей.

Учитывая, что j0=0, после преобразования получим:

Введем обозначения:

g11=g1+g3;

g22=g2+g3;

g12=g21= - g3.

получим систему уравнений:

.

Которую в матричной форме можно переписать в виде: ,

где

; ; .

Решая это уравнение относительно матрицы , получим . Далее используя законы Ома для участка цепи содержащего и не содержащего ЭДС можно найти токи в ветвях.

Метод эквивалентного генератора, применяемый для расчета электрических цепей, основан на теореме об активном двухполюснике.

Рассмотрим некоторые свойства двухполюсников. В сложной электрической цепи можно выделить ветвь, которая присоединяется к остальной цепи в двух точках.

По отношению к выделенной ветви вся остальная часть схемы представляет двухполюсник. Двухполюсник – это обобщенное название любой схемы, рассматриваемой относительно двух выводов или полюсов. Двухполюсник условно изображают в виде прямоугольника. Если в двухполюснике имеются источники энергии, не компенсирующие друг друга, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике, его изображающем, ставят букву A.

Сопротивление исследуемой ветви является нагрузкой активного двухполюсника и обозначается (или ).

Двухполюсник, не содержащий источников энергии, называют пассивным и в изображающем его прямоугольнике вместо буквы A ставят букву П.

Пассивный источник является приемником энергии и может быть охарактеризован внутренним сопротивлением или входным сопротивлением относительно выводов ab. Это определение определяют расчетным путем по известной схеме или экспериментально, если внутренняя схема пассивного двухполюсника неизвестна.


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал