Решение биматричных игр

Рассмотрим вначале биматричную игру 2´ 2 с матрицами выигрышей

соответственно игроков 1 и 2. Как и в случае матричных игр, смешанные стратегии полностью описываются вероятностями p и q выбора игроками своих первых чистых стратегий (вторые чистые стратегии выбираются, очевидно, с вероятностями 1- p и 1- q).

Опишем порознь множество приемлемых ситуаций, для каждого из игроков и изобразим эти множества на единичном квадрате p, q, где p Î [0, 1] и q Î [0, 1].

Начнем с описания ситуаций, приемлемых в игре для игрока 1.

Приемлемость ситуации (X, Y) для игрока 1 в биматричной игре означает, что

, (3.43)

, (3.44)

где А ₁ и А ₂ – вектор-строки, соответствующие первой и второй строке матрицы А, соответственно.

Подчеркнем, что эти условия приемлемости никак не связаны с матрицей В выигрышей игрока 2. Поэтому они будут совпадать с аналогичными условиями матричной игры с платежной матрицей А.

Приемлемость ситуации (X, Y) для игрока 2 означает, что

(3.45)

(3.46)

где В ₁ и В ₂ – вектор-столбцы, соответствующие первому и второму столбцу матрицы В соответственно.

В общем случае, Х =| p, 1 – p |. Рассмотрим три случая:

а) р = 1, (Х =|1, 0|). Тогда выражение (3.43) превращается в тождественное равенство, а условием приемлемости данной ситуации для игрока 1 оказывается неравенство (3.44). Для рассматриваемого случая его можно записать как

; (3.47)

б) р = 0 (Х =|1, 0|). В этом случае выражение (3.44) превращается в тождественное равенство, а условием приемлемости данной ситуации для игрока 2 оказывается неравенство (3.43). Для рассматриваемого случая оно имеет вид

; (3.48)

в) 0< р < 1 (Х =| p, 1 – p |). В этом случае оба неравенства (3.43) и (3.45) превращаются в равенство, и условием приемлемости становится

. (3.49)

Опишем ситуации приемлемости (3.47), (3.48) и (3.49) в развернутом виде. Так как

то соотношения (3.47), (3.48) и (3.49) можно соответственно записать как

(3.50)

(3.51)

(3.52)

Таким образом, приемлемые для игрока 1 ситуации (X, Y) могут быть одного из трех типов:

(1, q), где (3.53)

(0, q), где (3.54)

(p, q), где (3.55)

Неравенства (3.53) и (3.54) верны в случае, если
а ₁₁ + а ₂₂ – а ₁₂ – а ₂₁ > 0. Если а ₁₁ + а ₂₂ – а ₁₂ – а ₂₁ < 0, знак неравенства в соотношениях (3.53) и (3.54) необходимо поменять на противоположный.

Если величина а ₁₁ + а ₂₂ – а ₁₂ – а ₂₁ = 0, а а ₂₂ – а ₁₂ ¹ 0, выражение (3.55) не будет иметь место, поэтому будет выполняться или (3.53), или (3.54) и притом со знаком строгого неравенства.

Если же а ₁₁ + а ₂₂ – а ₁₂ – а ₂₁ = 0 и а ₂₂ – а ₁₂ = 0, все условия (3.53), (3.54) и (3.55) выполняются тождественно, и все ситуации будут приемлемыми для игрока 1.

Описание ситуаций приемлемости в развернутом виде для игрока 2 получаем аналогично из неравенств (3.45) и (3.46).

В общем случае Y =| q, 1– q |. Для трёх случаев получаем:

а) q = 1 (Y =|1, 0|). В этом случае приемлемость ситуации (X, Y) равносильна неравенству

, (3.56)

в развернутом виде

. (3.57)

б) q = 0 (Y =|0, 1|). В этом случае приемлемость ситуации (X, Y) определяется неравенством

(3.58)

в развернутом виде

. (3.59)

в) 0< q < 1 (Y = | q, 1– q |). Условие приемлемости

(3.60)

в развернутом виде

. (3.61)

Таким образом, приемлемые для игрока 2 ситуации (X, Y) могут быть одного из трех типов:

(p, 1), где (3.62)

(p, 0), где (3.63)

(p, q), где (3.64)

Вновь подчеркнем, что неравенства (3.62) и (3.63) справедливы, если их знаменатель больше нуля. Если b ₁₁ + b ₂₂ – b ₁₂ – b ₂₁ < 0, то знак неравенства в выражениях (3.62) и (3.63) необходимо поменять на противоположный.

Для определения ситуаций, приемлемых одновременно как для первого, так и для второго игроков, удобно все найденные приемлемые ситуации представить на единичном квадрате (рис. 3.23).

Рис.3.23. Приемлемые ситуации для игроков 1 и 2

Для случаев, когда а ₁₁ + а ₂₂ – а ₁₂ – а ₂₁ ¹ 0 и b ₁₁ + b ₂₂ – b ₁₂ – b ₂₁ ¹ 0, приемлемые ситуации игроков 1 и 2 составляют трехзвенные зигзаги. Причем ситуации равновесия в смешанных стратегиях игрока 2 совпадают с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрыша А, а поведение игрока 1 – с поведением игрока 1 в матричной игре с матрицей выигрышей В.

Таким образом, описанное равновесное поведение игроков оказывается ориентированным не столько на максимализацию собственного выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника. Так “антагонизм поведения” может возникнуть и при отсутствии “антагонизма интересов”.

В приведенном на рис. 3.23 решении игры три ситуации равновесия соответствуют точкам R ₁, R ₂, R ₃.

Если бы зигзаги приемлемых ситуаций были одинаковой ориентации, как показано на рис. 3.24, то пересечение приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2 состояло бы из одной точки R.

Рис. 3.24. Нахождение ситуаций оптимальных по Нэшу

При решении биматричных игр большей размерности необходимо решать большую систему линейных неравенств, определяемых выражениями (3.43), (3.44) и (3.45), (3.46), а затем таким же конечно-рациональным путем находить точки пересечения приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2. Причем любая конечная бескоалиционная игра имеет конечное и нечетное чисто ситуаций равновесия (решений игры). Поиск ситуаций равновесия в этом случае следует осуществлять с применением ПЭВМ.