Ротордың физикалық мағынасы. Стокс теңдеуі.

Стокс тең деуі. кең істіктегі 2 ө лшемді тегіс кө пбейне болсын. кө пбейне бетінің шекарасы жә не оның бағ ыты бағ ытымен келісілген.Енді 1-ші ретті сыртқ ы дифференциалдық тұ рпатты жазайық:

=

мұ ндағ ы Аталғ ан скалярдан вектор қ ұ раймыз:

векторына тұ рпаты сә йкес келеді. Олай болса бұ л бірмә нді сә йкестік.

Егер тұ рпатты дифференциалдар болсақ

аламыз.

Ұ қ сас дифференциалдардың кө бейтіндісі 0-ге тең екенін ескере отырып жақ шаны ашамыз:

Соң ғ ы пайда болғ ан ө рнек векторының роторына пара-пар

rot = ,

яғ ни,

сыртқ ы дифференциалдау амалы роторғ а сә йкес келеді.Олай болса Стокс тең деуі

мына тү рде жазылады жә не кең істіктегі Стокс фрмуласы деп аталады.

Ротордың физикалық мағ ынасы. Ротор дегеніміз ө рістің қ ұ йындылығ ын анық тайтын характеристика болып табылады. 1 нү ктедегі қ ұ йындылық ты кө рсету ү шін 3 жазық тық та жататын контурдың циркуляциясын қ арастырамыз. Осыдан шығ атыны:

Осыдан шығ атын ротор орта қ озғ алысының айналушы бө лігін толық тай қ арастырады.

Берілгені: (x); егер f(u)=cosu, .

Шешуі: Есептің берілгені бойынша мына тү рдегі Хопф тең деуін қ ұ рамыз:

Қ ұ рылғ ан Хопф тең деуіне байланысты Гамильтон-Якоби тең деуінен қ ұ рылғ ан характеристикалық жү йені қ арастырамыз:

,

мұ ндағ ы,

Есептің берілгеніндегі бастапқ а шартты қ анағ аттандыратындай етіп характеристикалық жү йені шешеміз

Жауабы: