Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Пример:

Решить дифференциальное уравнение y' = cosx+e^y с начальным условием y(0) = 1.

Решение:

Обращение к dsolve возвращает сообщение о том, что решение не найдено:

> > dsolve('Dy=cos(x)+exp(y)', 'y(0)=1', 'x')

ans =

[ empty sym ]

Команда dsolve не нашла аналитического решения в MATLAB. Известно, что решения этого дифференциального уравнения в аналитическом виде не существует. Найти разложение решения в степенной ряд (до 6 -й степени по умолчанию) можно с помощью команды dsolve системы Maple.

> > maple('dsolve({diff(y(x), x)=cos(x)+exp(y(x)), y(0)=1}, y(x), series)')

ans =

y(x) = series(1+(1+exp(1))*x+(1/2*exp(1)*(1+exp(1)))*x^2+(-1/6+1/3*exp(1)*(3/2*exp(1)+exp(1)^2+1/2))*x^3+(1/2*exp(1)^3+1/4*exp(1)^4+7/24*exp(1)^2)*x^4+(1/2*exp(1)^4+1/5*exp(1)^5+5/12*exp(1)^3+1/120-1/40*exp(1)+1/12*exp(1)^2)*x^5+O(x^6), x, 6)

Имеется возможность управлять порядком разложения. Найдем разложение решения в степенной ряд до 3 -й степени:

> > maple('Order: =3; dsolve({diff(y(x), x)=cos(x)+exp(y(x)), y(0)=1}, y(x), series)')

ans =

Order: = 3y(x) = series(1+(1+exp(1))*x+(1/2*exp(1)*(1+exp(1)))*x^2+O(x^3), x, 3)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Как создать символьную переменную в MATLAB?

2. Как в MATLAB осуществляется управление точностью вычислений?

3. Как выполняются в MATLABупрощения и подстановки в символьных выражениях?

4. Как в MATLAB вычислить в символьном виде значение предела функции?

5. Как выполнить в MATLABдифференцирование в символьном виде?

6. Как вычислить в MATLABзначение интеграла в символьном виде?

7. Как получить в MATLABв символьном виде разложение функции в ряд?

8. Как вычислить в MATLABзначение суммы и произведения ряда в символьном виде?

9. Как можно в MATLAB найти решение алгебраического уравнения в символьном виде?

10. Как можно в MATLAB найти решение дифференциального уравнения в символьном виде?

11. Как осуществляется в MATLAB в символьном виде прямое и обратное преобразование Лапласа?

12. Перечислите встроенные в MATLAB средства визуализации символьных вычислений?

13. Как можно в MATLAB обратится к ядру системы Maple?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

За номером задания в скобках указан раздел, после которого выполняется задание.

Задание 1 (8). Найти предел.

Требуется найти предел функции.

Варианты

1. 2. 3.

4. 5. (1+3tg²x)ctg²x 6.

7. 8. 9. (tgx)^tg2x 10.

11. 12. 13. (sinx)^tgx

14. 15.

Задание 2 (9). Найти производные.

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x, y). Проверить выполнение условия f''_xy(x, y) = f''_yx(x, y). Вычислить градиент функции f(x, y) в точке (1; 2).

Варианты

1. f(x, y) = arctg(x+y) 2. f(x, y) = arcsin(lnxy) 3. f(x, y) = e^-xlny

4. f(x, y) = cos(e^-xlny) 5. f(x, y) = ln(lnxy) 6. f(x, y) = sinx^cosy

7. f(x, y) = arcctg 8. f(x, y) = arccos(sin(x-y)) 9. f(x, y) = e^lnxy

10. f(x, y) = arccos 11. f(x, y) = arcctg(e^x-e^y)

12. f(x, y) = x^ln(x+y) 13. f(x, y) = ln 14. f(x, y) = arcsin(e^x+y)

15. f(x, y) = y^cos(xy)

Задание 3 (10). Найти неопределенный интеграл.

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1. 2. dx 3. dx 4. 56. dx 7. dx

8. dx 9. 10.

11. dx 12. 13.

14. dx 15. dx