Теория укрупненной скважины Ван-Эвердингена и Херста для расчета внедрения воды в газовую залежь (случаи постоянного дебита и постоянной депрессии).

При иссл-и проявления ВНР ГЗ часто аппроксимируется укрупненной скв-ной. На теории укрупненной скв-ны основаны методики прогнозирования показателей разр-и при водонапорном режиме. В уравнении материального баланса для ВНР при изв-й динамике отбора г неизвестными явл-ся Р_пл.

(t)/z()=1/[a× W_н-Q_в(t)]× [P_н/z_н× aW_н-Р_ат× Т_пл× Q_доб^ст(t)/Т_ст] (1)

где Q_в(t) – объем добытой скв-й воды.

Þ необходимо располагать динамикой внедрения пластовой воды, чтобы опр-ть динамику падения Р. В 1949 г. Ван-Эвердинген и Херст разработали теорию укрупненной скв-ны. Они решили уравнение пьезопроводности для радиального пласта о притоке воды к скв-е конечного радиуса.

¶²Р/¶r²+1/r× ¶P/¶r=1/c× ¶P/¶t (2)

где c - коэф-нт пьезопроводности;

c=k× K/(m× m_в)

где К – объемный модуль упругости

Размером укрупненной скв-ы по сравнению с пластом пренебречь нельзя.

Р(r, t=0)=P_н=const – начальные условия(3). Граничные условия

Внешние границы: а) P(R_к, t)=P_н – открытая система (4); б) (¶Р/¶r)½ _r=Rк=0 – замкнутый водоносный пласт (5).

Внутренние границы (контур): а) P(R_к, t)- P(R_з, t)= DP= const (6);

б) (r¶Р/¶r)½ _r=Rз= const (7)

q_в=2× p× R_зk× h(¶P/¶r)½ _r=Rз/m_в =const

(r¶Р/¶r)½ _r=Rз=m_в q_в/2× p× k× h= const^*

Интегрирования уравнения 2 при 3, 5, 6, дает решение

Q_в(t)=2× p× k× h× R_з²× DP× (fo) /(m_в× c) (8)

где fo – пар-р Фурье (время Фурье, безразмерное время); fo=c× t/R_з²; (fo) – безразмерная функция пар-ра Фурье при R_к®¥:

где I₀, Y₀ – функция Бесселя 1-го и 2-го рода, 0-го порядка.

Р_н-Р(R_з, t)=m_в× Q_в× (fo) /(2× p× k× h) (9)

где (fo) - безразмерная функция пар-ра Фурье при R_к®¥:

(fo)=

где I₁, Y₁ – функция Бесселя 1-го и 2-го рода, 1-го порядка.

F=p× R_з²®R_з=(F/p)^{0, 5}