Задачи на движение

В задачах «на движение» используются обычно формулы, выражающие закон равномерного движения: , где - пройденное расстояние, - скорость равномерного движения и - время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения; путь изображать в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.п. К выполнению рисунков и чертежей можно предъявить следующие требования: они должны быть наглядными, аккуратными, соответствующими тексту задачи. На них должны быть отражены, по возможности, все данные, входящие в условие задачи, и введенные переменные. Рисунки по условию задачи можно назвать фотографиями. Действительно, если бы мы взяли в руки фотоаппарат и встали неподалеку от дороги, по которой движутся персонажи задачи, то увидели бы то, о чем идет речь в задаче. Мы наблюдали бы за перемещением объектов постоянно, но фотографировали только самые важные моменты: когда происходит что-то новое. Первая фотография делается в момент выхода персонажа, раньше другого начавшего движение, или их одновременного выхода. Последующие снимки будут сделаны, если на дороге появится еще один участник движения, путешественники встретятся, повернут обратно, изменят свою скорость, остановятся и т.п.

Иногда для решения задач на движение, формулировка которых включает варианты движения объекта, удобно бывает представить эти варианты в виде таблицы. В таблице для краткой записи всегда будет три столбца, не считая еще одного, самого левого, столбца для заголовков названия. Названия столбцов стандартные: скорость, время, расстояние. Количество строчек таблицы и их названия зависят от сюжета задачи, например:

При движении по течению реки скорость объекта складывается из его скорости в стоячей воде и скорости течения; при движении против течения реки, скорость объекта равна разности его скорости в стоячей воде и скорости течения реки. Движущийся плот всегда имеет скорость течения реки.

Часто для усложнения задачи ее условие формулируется в различных единицах измерения. В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения. Помнить нужно и о следующих соображениях: объекты, начавшие двигаться навстречу друг другу, одновременно движутся до момента встречи одинаковое время, если объекты прошли одинаковые расстояния, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное этой задачи.

Примеры устных дидактических упражнений на актуализацию знаний:

1. От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 4 ч. На мопеде он смог бы проехать это расстояние за 2 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью, на 9 км/ч большей, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?

Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х

обозначено расстояние (вкм) от турбазы до станции.

1)

4(х – 9) = 2 х

2)

4 х = 2(х + 9)

3)

4)

2. Автомобиль расходует a литров бензина на 100 км пути. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 км?

А. л Б. л В. л Г. л

3. От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км / ч, он затратил бы на этот путь 2 ч. Чему равно расстояние от города до поселка?

Пусть х км – расстояние от города до поселка. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А.

Б.

В.

Г.

4. Придумайте задачу на равномерное движение, для решения которой составлены уравнения с неизвестным x. Буквами S, V, t обозначены данные в задачах путь, скорость и время.

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

5. Скорость поезда 60 км/ч. Чему равна величина скорости, если ее измерять в м/мин?

6. Запишите результат действий в виде буквенного выражения.

1) Путник первый час шел пешком, второй час ехал на попутной машине, скорость которой была в 10 раз больше его собственной скорости, а затем еще полчаса его везли на телеге, которая шла впятеро медленнее машины. Какой путь проделал путник за эти два с половиной часа?

2) В пути поезд сделал две остановки по 15 минут. До первой остановки он прошел половину всего пути с некоторой постоянной скоростью. На втором отрезке пути он увеличил скорость на 20% и прошел с этой скоростью половину оставшегося пути. На последнем отрезке поезд шел со скоростью, превышающей начальную скорость на 20 км/ч. Какое время затратил поезд на весь путь с двумя остановками?

7. Автомобиль был в пути 4 ч. За первый час он проехал а км, а в каждый следующий час проезжал на 5 км/ч больше, чем в предыдущий. Вычислите: путь, пройденный автомобилем за первый час, путь, пройденный автомобилем за 3 часа, скорость, с которой автомобиль двигался четвертый час, время, которое понадобилось бы автомобилю на весь путь, если бы он ехал с первоначальной скоростью.

8. Два поезда отправляются одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Обозначим через d расстояние между А и В, V₁ и V₂ – скорости поездов, t – время от момента отправления до момента встречи, а – расстояние от пункта А до точки встречи. Найдите неизвестные значения этих величин, пользуясь данными следующей таблицы:

Задачи с познавательными функциями, направленные на усвоение основного содержания школьного курса математики.

1. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А легковая машина догонит грузовую?

Пусть ч – время, которое потребуется легковой машине чтобы догнать грузовую,

; (км).

1. Прогулочный теплоход отправился вниз по течению реки от пристани А и причалил к пристани В. После получасовой стоянки теплоход отправился обратно и через 8 часов после отплытия из А вернулся на эту же пристань. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если расстояние между пристанями А и В равно 36 км, а скорость течения реки 2 км/ч?

км/ч скорость теплохода в стоячей воде, тогда . Ответ: 10 км/ч

1. Экскурсанты отправились из города А в город В на теплоходе, а возвратились обратно на поезде. Расстояние от А до В по водному пути равно 108 км, а по железной дороге 88 км. Поездка по железной дороге продолжалась на 4 ч меньше, чем на теплоходе. Сколько километров в час проходил поезд, если его скорость была на 26 км/ч больше скорости теплохода.

км/ч скорость теплохода, тогда , . Ответ: 44 км/ч

1. Из пункта А отправили по реке плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько км/ч проходил плот, если катер шел быстрее его на 12 км/ч?

км/ч скорость плота, тогда Ответ: 3 км/ч

1. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 часов. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути – со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из М в N?

км/ч первоначальная скорость, тогда ; Ответ: 48 км/ч или 9 км/ч

1. Скорость рейсового трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в 20 км на 12 мин быстрее, чем трамвай старой конструкции. За какое время новый трамвай проходит этот маршрут?

км/ч скорость трамвая, тогда ; Ответ: 48 мин.

1. Пешеход и велосипедист отправились одновременно навстречу друг другу из разных городов, расстояние между которыми 40 км. Велосипедист проехал мимо пешехода через 2 ч после отправления и на весь путь затратил на 7, 5 ч меньше, чем пешеход. Найти скорость движения каждого, считая, что они двигались все время с постоянными скоростями.

Пусть x и y км/ч скорости пешехода и велосипедиста, тогда

1. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске со скоростью 15 км\ч. Путь от поселка до озера у него занял 1 час, а обратный путь – 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера.

Пусть x км расстояние от поселка до озера, y км горизонтальный участок пути, тогда . Ответ: 10 км.

Практикум:

1. Пешеход проходит расстояние от города А до города В за 4 ч, а велосипедист проезжает это расстояние за 2 ч. Если пешеход выйдет из города А, а одновременно навстречу ему велосипедист выедет из города В, то они встретятся на расстоянии 8 км от города А. Найдите скорость пешехода.
2. С турбазы в одном направлении выходят три туриста с интервалом в 30 минут. Первый идет со скоростью 5 км/ч, второй – со скоростью 4 км/ч. Третий турист догоняет второго, а еще через 4 ч догоняет первого. Найдите скорость третьего туриста.
3. Велосипедист едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость велосипедиста при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость движения с горы одинакова в обоих направлениях; это же относится и к скорости движения в гору).