Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Оптимальный выбор 3 страница
|
|
3.6. Предельная норма замещения
Мы часто будем пользоваться наклоном кривой безразличия в конкретной точке. Эта идея столь полезна, что даже получила название: наклон кривой безразличия известен как предельная норма замещения (MRS). Данное название проистекает из того факта, что MRS измеряет пропорцию, в которой потребитель готов заместить один товар другим.
Предположим, что мы отбираем у потребителя немножко товара 1, D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Затем мы добавляем ему D x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. — количество, как раз достаточное для того, чтобы вернуть его на его кривую безразличия, так что после этой замены x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. на x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. благосостояние потребителя не изменится. Мы рассматриваем отношение D x 2/D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. как пропорцию, в которой потребитель готов заместить товар 1 товаром 2.
Будем теперь считать D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. очень малым изменением — предельным изменением. Тогда пропорция D x 2/D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. измеряет предельную норму замещения товара 1 товаром 2. По мере того как D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. уменьшается, D x 2/D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., как это видно из рис.3.11, приближается к наклону кривой безразличия.
Записывая отношение D x 2/D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., всегда будем считать и числитель, и знаменатель малыми числами, описывающими предельные изменения по сравнению с исходным потребительским набором. Поэтому отношение, определяющее MRS, всегда будет описывать наклон кривой безразличия — пропорцию, в которой потребитель готов заместить чуть большим потреблением товара 2 чуть меньшее потребление товара 1. (Обратим внимание читателя на то, что в параграфе 3.7 автор отходит от этого “нестандартного” определения предельной нормы замещения, пользуясь в дальнейшем традиционным ее определением, построенным на замещении товара 2 товаром 1, а не наоборот. Как мы увидим в параграфе 3.8, такой возврат автора к традиционному определению предельной нормы замещения имеет важное значение для понимания поведения MRS — прим. науч. ред.)
| Рис. 3.11 | Предельная норма замещения (MRS). Предельная норма замещения измеряет наклон кривой безразличия. |
Слегка смущающим моментом в отношении MRS является то, что, как правило, это число отрицательное. Мы уже видели, что монотонные предпочтения подразумевают отрицательность наклона кривых безразличия. Поскольку MRS есть численная мера наклона кривой безразличия, она, естественно, будет отрицательным числом.
Предельная норма замещения количественно характеризует интересный аспект поведения потребителя. Допустим, что предпочтения потребителя стандартны, т. е. монотонны и выпуклы, и что в настоящий момент он потребляет некий набор (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.). Предложим ему сделку: он может обменять товар 1 на товар 2 или товар 2 на товар 1 в любых количествах по " норме обмена", равной E.
Иными словами, если потребитель откажется от D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц товара 1, он может получить взамен E D x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц товара 2. Или наоборот, если он откажется от D x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц товара 2, то может получить D x 2/ E Ошибка! Не указан аргумент ключа. единиц товара 1. На языке геометрии это означает, что мы предоставляем потребителю возможность, как показано на рис.3.12, двигаться в любую точку вдоль линии с наклоном – E, проходящей через (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.). Движение влево вверх от точки (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) предполагает обмен товара 1 на товар 2, а движение вправо вниз — обмен товара 2 на товар 1. При движении и в том, и в другом направлениях норма обмена составляет E. Поскольку обмен всегда предполагает отказ от одного товара в обмен на другой, норма обмена E соответствует наклону –E.
| Обмен товарами по норме обмена. В рассматриваемом случае мы позволяем потребителю обменивать товары по норме обмена E, что подразумевает возможность перемещения потребителя вдоль линии с наклоном – E. | Рис. 3.12 |
Теперь зададим вопрос: какой должна быть норма обмена, чтобы потребитель захотел остаться в точке (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.)? Для ответа на этот вопрос мы просто отметим, что при пересечении линией обмена кривой безразличия на этой линии всегда будут иметься какие-то точки, предпочитаемые точке (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.), а именно те, которые лежат над кривой безразличия. Следовательно, если мы не хотим двигаться из точки (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.), то линия обмена должна являться касательной к кривой безразличия. Иными словами, наклон линии обмена –E, должен быть наклоном кривой безразличия в точке (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.). При любой другой норме обмена линия обмена пересекала бы кривую безразличия и тем самым позволяла бы потребителю двигаться в более предпочитаемую точку.
Таким образом, наклон кривой безразличия — предельная норма замещения — показывает норму обмена, при которой потребитель колеблется, производить обмен или нет. При любой норме обмена, отличной от MRS, у потребителя возникло бы желание обменять один товар на другой. Если же норма обмена равна MRS, потребитель хочет остаться в данной точке.
Краткие выводы
1. Экономисты полагают, что потребитель способен ранжировать различные возможности потребления. Способ, которым потребитель ранжирует потребительские наборы, описывает его предпочтения.
2. Для графического представления предпочтений разного вида можно использовать кривые безразличия.
3. Стандартные предпочтения монотонны (в смысле, что " больше означает лучше") и выпуклы (в смысле, что средние наборы предпочитаются крайним).
4. Предельная норма замещения (MRS) измеряет наклон кривой без-различия. Этот наклон можно трактовать как то количество товара 2, от которого потребитель готов отказаться, чтобы получить больше товара 1.
4.ПОЛЕЗНОСТЬ. Кардиналистская полезность. Построение функции полезности. Примеры функции полезности: совершенные заменители, совершенные дополнители, квазилинейные предпочтения, предпочтения Кобба-Дугласа. Предельная полезность.
Из-за этих проблем с толкованием понятий экономисты отказались от устаревшей точки зрения на полезность как на меру благоденствия. Вместо этого теория поведения потребителей была полностью переформулирована с позиций потребительских предпочтений, и теперь полезность рассматривают лишь как способ описания предпочтений.
. Первоначально предпочтения определялись в терминах полезности: утверждение, что набор Ошибка! Не указан аргумент ключа. (x 1, x 2) предпочитается набору (y 1, y 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) означало, что набор x обладает большей полезностью, чем набор y. Теперь же мы склонны рассуждать наоборот. Описание предпочтений потребителя существенно полезно для анализа потребительского выбора, полезность же — это просто способ описания предпочтений.
Функция полезности — это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются бó льшие численные значения, чем менее предпочитаемым. Иными словами, набор (x 1, x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) предпочитается набору (y 1, y 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) в том и только в том случае, если полезность набора (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. больше полезности набора (y 1, y 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) Ошибка! Не указан аргумент ключа.: на языке условных обозначений (x 1, x 2) f (y 1, y 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.) Ошибка! Не указан аргумент ключа., если и только если, u (x 1, x 2) > u (y 1, y 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.).
Единственный смысл приписывания полезности состоит в том, что с его помощью ранжируются товарныенаборы. Значение, принимаемое функцией полезности, важно только с точки зрения ранжирования различных потребительских наборов; величина разности полезности двух любых потребительских наборов не существенна. Вследствие указанного акцентирования расположения товарных наборов в определенном порядке полезность этого рода именуется порядковой полезностью.
Построение функции полезности
Однако уверены ли мы в том, что вообще существует какой-либо способ приписывания товарным наборам порядковых полезностей? Допустим, имеется некое ранжирование предпочтений. Всегда ли можно найти функцию полезности, располагающую товарные наборы в том же порядке, в каком располагаются эти предпочтения? Существует ли функция полезности, описывающая любое рациональное ранжирование предпочтений?
Не все виды предпочтений можно представить с помощью функции полезности. Предположим, например, что предпочтения некоего индивида нетранзитивны, так что A f B f C f A Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Тогда функция полезности, соответствующая этим предпочтениям, должна была бы состоять из чисел u (A), u (B) и u (C) таких, что u (A) > u (B) > u (C) > u (A). Но это невозможно.
Если, однако, исключить из рассмотрения аномальные случаи вроде нетранзитивных предпочтений, то окажется, что практически всегда можно найти некую функцию полезности, которая бы представляла данные предпочтения. Поясним построение функции полезности наглядными примерами, рассмотрев один из них здесь, а другой — в гл. 14.
Допустим, что нам дана карта кривых безразличия, такая, как на рис. 4.2. Мы знаем, что функция полезности есть способ обозначения кривых безразличия, при котором более высоким кривым безразличия ставятся в соответствие бó льшие числа. Как это можно сделать?
| Рис. 4.2 | Построение функции полезности на основе кривых безразличия. Нарисуйте диагональную линию и обозначьте каждую кривую безразличия числом, соответствующим расстоянию от нее до начала координат, измеренному вдоль этой линии. |
Один из простых способов — провести диагональ, как показано на рисунке, и обозначить каждую кривую безразличия числом, соответствующим ее расстоянию от начала координат, измеренному вдоль этой диагонали.
Откуда мы знаем, что в результате этого получим функцию полезности? Нетрудно заметить, что если предпочтения монотонны, то луч, проходящий через начало координат, должен пересечь каждую кривую безразличия в точности один раз. Таким образом, каждый набор благ получает свое обозначение, и наборы, находящиеся на более высоких кривых безразличия, обозначаются бó льшими числами, а только это и требуется, чтобы построить функцию полезности.
Это дает нам один из способов обозначения кривых безразличия по крайней мере для случая монотонных предпочтений. Данный способ не всегда будет самым подходящим для любого заданного случая, но он показывает достаточно общий характер идеи, заложенной в функции порядковой полезности: " разумные" предпочтения почти любого вида можно представить с помощью функции полезности.
4.3. Некоторые примеры функций полезности
В гл. 3 мы рассмотрели несколько примеров предпочтений и представляющих их кривых безразличия. Эти предпочтения можно представить также с помощью функций полезности. Если дана функция полезности u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа., нарисовать соответствующие кривые безразличия сравнительно несложно: надо нанести на график все точки (x 1, x 2), для которых u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. постоянна. В математике множество всех (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., для которых u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. постоянна, называется упорядоченным множеством. Для каждого другого значения константы мы получаем другую кривую безразличия.
ПРИМЕР: Кривые безразличия,
получаемые на основе функции полезности
Предположим, что функция полезности имеет вид: u (x 1, x 2) = x 1 x 2. Как выглядят тогда кривые безразличия? Нам известно, что типичная кривая безразличия есть просто множество всех x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. и x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа., таких, что k = x 1 x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. для некой константы k. Выразив x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. как функцию от x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа., мы видим, что типичной кривой безразличия в данном случае будет соответствовать формула:
Ошибка! Не указан аргумент ключа. 
Эта кривая изображена на рис. 4.3 для k = 1, 2, 3 ...
| Кривые безразличия. Кривые безразличия k = x 1 x 2Ошибка! Не указан аргумент ключа. для любых значений k. | Рис. 4.3 |
Рассмотрим еще один пример. Допустим, нам задана функция полезности вида 
Ошибка! Не указан аргумент ключа. Как выглядят ее кривые безразличия? Согласно стандартным правилам алгебры:
Ошибка! Не указан аргумент ключа.
Иными словами, функция полезности v (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. есть просто квадрат функции полезности u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Поскольку u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. не может быть отрицательной величиной, отсюда следует, что v (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. является монотонным преобразованием исходной функции полезности u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Это означает, что функции полезности 
Ошибка! Не указан аргумент ключа. должны соответствовать кривые безразличия в точности такой же формы, как у представленных на рис.4.3. Обозначения кривых безразличия будут другими — обозначения 1, 2, 3 теперь станут обозначениями 1, 4, 9,..., но множество наборов, имеющее полезность v (x 1, x 2) = 9 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., в точности такое же, что и множество наборов, имеющее полезность v (x 1, x 2) = 3 Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Следовательно, v (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. описывает в точности те же предпочтения, что и u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., поскольку она ранжирует все наборы таким же образом.
Идти в обратном направлении — находить функцию полезности, представляющую определенные кривые безразличия, — несколько сложнее. Для этого можно прибегнуть к двум способам. Первый способ — математический. Исходя из заданных кривых безразличия мы хотим найти функцию, которая принимала бы постоянные значения вдоль каждой кривой безразличия и приписывала бы бó льшие численные значения более высоким кривым безразличия.
Второй способ — несколько более интуитивный. Исходя из описания предпочтений, мы пытаемся представить себе, что именно стремится максимизировать потребитель — какая комбинация товаров описывает его потребительский выбор. Хотя на данной стадии рассмотрения этот способ может показаться несколько неясным, после обсуждения нескольких примеров его смысл станет понятнее.
Совершенные субституты
Помните пример с красными и синими карандашами? Для потребителя имело значение только общее число карандашей. Таким образом, вполне естественно измерять полезность общим числом карандашей. Поэтому предварительно выберем функцию полезности вида Ошибка! Не указан аргумент ключа. u (x 1, x 2) = x 1 + x 2. Подойдет ли она? Достаточно задать себе два вопроса: принимает ли эта функция полезности постоянные значения при перемещении вдоль кривых безразличия? Приписывает ли она более высокие численные значения более предпочитаемым наборам? Поскольку на оба эти вопроса следует дать утвердительный ответ, перед нами — функция полезности.
Разумеется, это не единственная функция полезности, которую мы могли бы использовать в данном случае. Можно было бы также использовать квадрат числа карандашей. Таким образом, функция полезности 
Ошибка! Не указан аргумент ключа. тоже представляет предпочтения для случая совершенных субститутов, как, впрочем, и любая другая функция, являющаяся монотонным преобразованием функции u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа..
Что, если потребитель хочет заместить товар 1 товаром 2 в соотношении, отличном от соотношения " один к одному"? Предположим, например, что потребителю потребуются две единицы товара 2, чтобы компенсировать отказ от одной единицы товара 1. Это означает, что товар 1 вдвое ценнее для потребителя, чем товар 2. Функция полезности, следовательно, принимает вид u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. = 2 x 1 + x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Заметьте, что эта функция полезности дает кривые безразличия с наклоном –2.
Вообще предпочтения в отношении совершенных субститутов можно представить функцией вида
Ошибка! Не указан аргумент ключа. u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. = ax 1 + bx 2.
Здесь a и b — некие положительные числа, измеряющие " ценность" товаров 1 и 2 для потребителя. Обратите внимание на то, что наклон типичной кривой безразличия задан — a/b.
Совершенные комплементы
Это случай левого и правого башмаков. При предпочтениях такого рода потребителя заботит только число имеющихся у него пар обуви, поэтому естественно выбрать число пар обуви в качестве функции полезности. Число имеющихся у вас полных пар обуви есть минимум числа имеющихся у вас правых x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. и левых x 2 башмаков Ошибка! Не указан аргумент ключа.. В соответствии с этим функция полезности для совершенных комплементов принимает вид u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. = min{ x 1, x 2}. Ошибка! Не указан аргумент ключа.
Чтобы проверить, действительно ли эта функция полезности подходит в данном случае, выберем, скажем, товарный набор (10, 10). Добавив еще одну единицу товара 1, получаем набор (11, 10), потребляя который, мы должны были бы остаться на той же самой кривой безразличия. Так ли это? Да, поскольку min{10, 10} = min{11, 10} = 10.
Итак, u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. = min{ x 1, x 2} — функция полезности, с помощью которой можно описать совершенные комплементы. Как обычно, для этого подойдет и любая функция, являющаяся монотонным преобразованием данной.
Что можно сказать о случае, когда потребитель хочет потреблять товары не в пропорции " один к одному"? Например, как насчет потребителя, всегда потребляющего 2 ложки сахара с чашкой чая? Если x 1 Ошибка! Не указан аргумент ключа. — число имеющихся чашек чая, а x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. — число имеющихся ложек сахара, то число должным образом чашек подслащенного чая составит 
Это несколько сложно для понимания, так что немного поразмыслим об этом. Ясно, что если число чашек чая будет больше половины числа ложек сахара, то мы не сможем положить в каждую чашку чая по 2 ложки сахара. В этом случае у нас в итоге окажется только 
чашек должным образом подслащенного чая. (Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо x 1 и x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа. какие-нибудь числа.)
Разумеется, те же самые предпочтения могут быть описаны любой функцией, которая является монотонным преобразованием указанной функции полезности. Например, можно произвести умножение на 2, чтобы избавиться от дроби. В результате этого получим функцию полезности u (x 1, x 2) = Ошибка! Не указан аргумент ключа. min{2 x 1, x 2}.
Вообще, функция полезности, описывающая предпочтения для случая совершенных комплементов, имеет вид
u (x 1, x 2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. = min{ ax 1, bx 2},
где a и b — положительные числа, показывающие пропорции, в которых потребляются товары.
Квазилинейные предпочтения
Перед нами форма кривых безразличия, с которой мы раньше не сталкивались. Предположим, что кривые безразличия потребителя представляют собой, как на рис. 4.4, вертикальные смещения одной кривой по отношению к другой. Это означает, что все кривые безразличия являются просто вертикально " смещенными" копиями одной и той же кривой безразличия. Отсюда следует, что уравнение кривой безразличия принимает вид x 2 = k – v (x 1) Ошибка! Не указан аргумент ключа., где k — константа, имеющая для каждой кривой безразличия свои значения. Чем больше значения k, тем выше располагаются кривые безразличия. (Знак " минус" здесь — не более, чем условность; почему он удобен, мы увидим ниже.)
В этой ситуации вполне естественным является ранжирование кривых безразличия по k, или по " высоте" вдоль вертикальной оси. Выразив k и приравняв его к полезности, получаем
u (x 1, x 2) = k = v (x 1) + x 2.
В данном случае функция полезности линейна по товару 2, но нелинейна (возможно) по товару 1; отсюда и название квазилинейная, означающее частично линейную полезность. Конкретные примеры квазилинейной функции полезности: 
Ошибка! Не указан аргумент ключа. или u (x 1, x 2) = ln x 1 + x 2 Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Квазилинейные функции полезности не особенно реалистичны, но с ними легко работать, в чем мы убедимся на нескольких примерах, рассматриваемых далее в этой книге.
Предпочтения Кобба — Дугласа
Другая широко используемая функция полезности — функция полезности Кобба — Дугласа:
где c и d — положительные числа, описывающие предпочтения потребителя1.
| Квазилинейные предпочтения. Каждая кривая безразличия есть вертикально смещенная копия одной-единственной кривой безразличия. | Рис. 4.4 |
Функция полезности Кобба — Дугласа будет полезна нам при рассмотрении нескольких примеров. Предпочтения, представленные функцией полезности Кобба — Дугласа, в общем виде характеризуются формой кривых безразличия, изображенной на рис. 4.5. На рис.4.5A изображены кривые безразличия для с = 1/2, d = 1/2, на рис.4.5B соответственно для c = 1/5, d = 4/5. Обратите внимание на то, что разные значения параметров c и d обусловливают различие форм кривых безразличия.
A c = 1/2 d = 1/2 B c = 1/5 d = 4/5
| Кривые безразличия Кобба — Дугласа. На рис.A показан случай c = 1/2, d = 1/2, а на рис.B — случай c = 1/5, d = 4/5. | Рис. 4.5 |
Кривые безразличия Кобба — Дугласа выглядят в точности так же, как симпатичные выпуклые к началу координат монотонные кривые безразличия, которые в гл.3 мы называли стандартными кривыми безразличия. Предпочтения Кобба — Дугласа дают нам типовой пример таких стандартных с виду кривых безразличия, и, действительно, описывающая их формула — это, пожалуй, простейшее алгебраическое выражение, соответствующее стандартным предпочтениям. Предпочтения Кобба — Дугласа окажутся весьма полезными для представления на алгебраических примерах некоторых экономических идей, которые мы рассмотрим позднее.
|
|