Динамика вращательного движения системы материальных точек относительно неподвижной оси.

Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.13).

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось , полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 13).

Рис.13

Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е.

.

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем, что

или .

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, > 0, а когда по ходу часовой стрелки, то < 0.

Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с^-1), так как радиан - величина безразмерная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.14). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Рис.14

Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени угловая скорость тела изменяется на величину , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем,

или .

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T^2 (1/время^2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с^2 или, что то же, 1/с^2 (с^-2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом

Направление совпадает с направлением, когда тело вращается ускоренно и (рис.14, а), противоположно при замедленном вращении (рис.14, б).