NP- трудные и NP-полные задачи.

Задача, входящая в Р, является NP-трудной, если существует полиномиальный ДА (ПДА) ее решения, который модно использовать для получения решения всех задач, входящих в NP. Т. е. такая задача является NP-трудной, если она, по крайней мере, так же трудна, как любая задача, входящая в NP.

NP-трудная задача, принадлежащая NP, называется NP-полной задачей. Такие задачи не менее трудны, чем любая задача из NP. При этом существование ПДА для NP-трудной или NP-полной задачи означает, что классы Р и NP совпадают, т. е. возможно решение всех задач 3-го класса быстрым алгоритмом.

Для доказательства того, что задача является NP-трудной, необходимо показать, что если для задачи существует ПДА, то его можно использовать для получения другого ПДА решения задач, входящих в NP.

Чтобы установить, что задача является NP-полной, необходимо доказать, что она принадлежит NP.

Идея использовать алгоритм решения одной задачи для получения алгоритма решения другой является одной из наиболее важных в теории алгоритмов.

Определение 1: Задача Р1 преобразуется в задачу Р2, если любой частный случай задачи Р1 можно преобразовать за полиномиальное время в некоторый частный случай задачи Р2. Тогда решение Р1 можно получить за полиномиальное время из решения частного случая задачи Р2.

Если Р1®Р2 и Р2Î Р, то и Р1Î Р.

Определение 2: Задача является NP-трудной, если каждая задача, входящая в NP, преобразуется в нее. Задача является NP-полной, если она является одновременно NP-трудной и принадлежит NP.