Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Постановка задачи
Пусть и радиус-векторы двух тел, а и их массы. Наша цель определить траектории и для любого времени t, при заданных начальных координатах и скоростях , , , . Второй закон Ньютона применительно к данной системе утверждает, что где — сила действующая на первое тело из-за взаимодействием со вторым телом, и — сила действующая на второе тело со стороны первого. Складывая и вычитая эти два уравнения, можно разделить одну задачу на две задачи с одним телом, которые могут быть решены независимо. " Сложение" уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс. В отличие от этого, " вычитание" уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор между массами изменяется со временем. Решение этих независимых задач может помочь в нахождении траекторий и . Движение центра масс (первая задача) Сложение уравнений (1) и (2) приводит к равенству где мы использовали третий закон Ньютона и где позиция центра масс системы. уравнение в итоге запишется в виде Оно показывает, что скорость центра масс постоянна. Отсюда следует, что полный момент количества движения также сохраняется (сохранение импульса). Позиция и скорость центра масс может быть получена в любой момент времени. Движения вектора смещения (вторая задача) Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и преобразуя приходим к уравнению где мы снова использовали третий закон Ньютона и где (определённый выше) - вектор смещения, направленный от второго тела к первому. Сила между двумя телами должна быть функцией только а не абсолютных положений и ; в противном случае задача не имеет трансляционной симметрии, то есть законы физики менялись бы от точки к точке. Таким образом можно записать: где μ - приведённая масса Как только мы найдём решение для и , первоначальные траектории можно записать в виде как может быть показано подстановкой в уравнения для и .
|