Задача о промерзании и протаивании горных пород

До сих пор рассматривалось температурное поле горных пород без учета затрат тепла на фазовые переходы, т.е. без учета энергоемкого процесса замерзания (таяния) воды (льда). Известно, что на нагревание 1 кг воды на 1^оС требуется 4.2 КДж (1 Ккал) тепла, а на таяние такого же количества льда – в 80 раз больше. Поэтому очевидно, что процесс промерзания влагонасыщенных пород должен происходить медленнее, чем сухих. Обратная картина наблюдается при протаивании: сильно льдистые отложения протаивают и нагреваются медленнее слабольдистых. Подвижную границу раздела талых и мерзлых пород называют фронт ом промерзания (протаивания). Воздействие на температурное поле фазовых переходов влаги в слое пород (грунтов), совершающихся при отрицательной близкой к нулю температуре, М.И.Сумгин назвал нулевой завесой.

Количество тепла Q_ф, выделяющегося или поглощаемого при полном промерзании или оттаивании единицы массива горной породы, определяется из выражения:

Q_ф = LW_вg_ск,

где L=335 000 кДж/м³ – объемная теплота фазового перехода воды в лед и наоборот; W_в – весовая влажность (льдистость); g_ск – плотность (объемная масса) скелета.

В 1889 г. австрийский математик Йозеф Стефан получил трасцендентное уравнение для определения движения границы раздела фаз в среде с постоянной начальной температурой и постоянной температурой противоположного знака на поверхности, оно считается классическим решением задачи о промерзании.

На границе раздела талых и мерзлых пород процесс теплообмена подчиняется закону сохранения и превращения энергии. Суть теплообмена можно выразить в следующем виде (условие Стефана):

l_{т -} l_{м =} Q_{ф ,} (3.12)

где l_т и l_м – коэффициенты теплопроводности талых и мерзлых пород; t _т и t_м – температура в талой и мерзлой зонах; Q_ф – затраты тепла на фазовые превращения единицы объема породы; – глубина протаивания или промерзания горных пород.

Левая часть равенства представляет собой разность тепловых потоков, приходящих к фронту промерзания и уходящих от нее. Поглощаемое на границе количество тепла затрачивается на замерзание или оттаивание горных пород, следовательно, вызывает движение границы со скоростью , что выражается правой частью равенства. Выражение (3.12) таким образом можно написать короче:

g_т - g_м = Q_ф ,

где g_т и g_м – потоки тепла на границе раздела фаз в талой и мерзлой зонах; e’ = – скорость продвижения границы. Если потоки равны, что часто имеет место на подошве многолетнемерзлых толщ (ММТ), то граница будет неподвижна.

Промерзание (протаивание) влажного грунта является сложным термодинамическим процессом, протекающим в неоднородных по своим свойствам породах. Задача о протекании этого процесса является одной из наиболее сложных в математической физике. При ее решении необходимо учитывать изменение агрегатного состава и теплофизических характеристик среды при изменяющемся температурном поле, процессы миграции влаги и пр.

В зависимости от физико-механических свойств грунта фазовые переходы могут происходить как при постоянной температуре, так и в спектре температур: грубообломочные грунты в одном случае и тонкодисперсные – в другом. Вследствие этого в процессе промерзания (протаивания) будет происходить изменение теплофизических характеристик грунтов. Миграция влаги к фронту промерзания сопровождается изменением теплоемкости грунтов, повышением затрат на фазовые переходы.

Постановка задач о промерзании (протаивании) пород предусматривает следующие основные варианты:

1) промерзание (протаивание) пород происходит с образованием границы раздела фаз;

2) промерзание (протаивание) пород происходит в некотором интервале температуры с образованием зоны промерзания;

3) промерзание (протаивание) с участием миграции влаги в промерзающую зону.

Наиболее простой является постановка задачи по I варианту, когда на подвижной границе все время сохраняется температура кристаллизации воды (плавление льда), равная 0°С. Талые и мерзлые породы разделяет плоскость. Эта постановка хорошо описывает процессы промерзания в грубообломочных породах.

Рассмотрим случай нестационарного одномерного температурного поля в однородных горных породах, содержащих пресную гравитационную (свободную) воду. Математическая формулировка задачи в этом случае будет включать в себя: два уравнения теплопроводности (для талой и мерзлой зон) и условие Стефана на подвижной границе раздела фаз. В случае промерзания грунтов она записывается следующим образом:

ошибка

ошибка

,

где - положение нижней границы рассматриваемой области; другие обозначения приведены выше по тексту. Последние два уравнения являются условиями сопряжения решений уравнений теплопроводности в мерзлой и талой зонах на подвижной границе раздела фаз.

Для получения однозначного условия в поставленной задаче необходимо задать краевые (начальные и граничные) условия:

начальные условия

граничные условия.

Граничные условия можно задавать по-разному. В приведенном примере заданы граничные условия I рода, т.е. заданы во времени значения изменения температуры на верхней (z=0) и нижней (z= ) границах. Можно на границе задать значение теплового потока или градиента температуры (II рода г.у.) или в виде комбинации значений температуры и градиента температуры, причем по отдельности их значения не известны (III рода г.у.). Часто граничные условия являются смешанными: на верхней границе задаются условия I рода, а на нижней – II рода.

На основе приближенных решений задачи Стефана получены формулы, которые могут быть использованы для определения глубины промерзания (протаивания) в практических расчетах. Для ориентировочных расчетов часто применяется так называемая формула Стефана (впервые выведенная Заальшютцом):

, (3.13)

где - сумма градусочасов.

Формула выведена с большими упрощениями:

а) предполагается постоянство температуры на поверхности пород;

б) все тепло расходуется на фазовые переходы и не идет на нагревание (охлаждение) массива;

в) распространение температур в верхней зоне подчиняется линейному закону;

г) теплопоток снизу отсутствует и пр.

Расчеты по формуле (3.13) можно уточнить, если имеются данные о глубине промерзания (оттаивания) за определенный год на конкретной площадке, оголенной от снежного покрова. Например, в конкретный год известны величины и , тогда .

Достаточно точные результаты определения глубин сезонного промерзания (оттаивания) дают приближенные формулы В.А.Кудрявцева (см. Общее мерзлотоведение…, 1978).

В практике геокриологических исследований решение задачи с образованием границы раздела фаз применимо для крупнодисперсных и песчаных грунтов, содержащих пресные подземные воды. Однако в тонкодисперсных отложениях при нулевых температурах замерзает только небольшая часть свободной воды, а связанная влага замерзает постепенно по мере понижения температуры. Поэтому в таких породах выделяются не две зоны – талая и мерзлая, разделенные между собой четкой границей (плоскостью), а три. Третья, промежуточная зона включает в себя незамерзшую влагу и лед, количество которого увеличивается с понижением температуры. Таким образом, промежуточная зона имеет непостоянные во времени теплофизические свойства.

При промерзании тонкодисперсных пород в естественных условиях нередко наблюдается движение влаги в зону промерзания из нижележащих водоносных отложений. Причем количество миграционной влаги может превышать объем воды, находящейся в породе перед началом промерзания. Миграционная влага не только влияет на величину фазовых переходов и теплофизические свойства грунта, но и увеличивает объем последнего, т.е. верхняя граница отложений не остается неподвижной, а перемещается вверх. Происходит пучение грунта.

Решение задачи на промерзание (протаивание) сопряжено со многими трудностями, которые не позволяют найти однозначного ответа и поэтому варианты решений, предлагаемые различными авторами, имеют существенные недостатки.

Постановка задачи о промерзании – протаивании толщи горных пород подробно рассматривается в работах Э.Д. Ершова (2002) и «Общем мерзлотоведении» под редакцией В.А. Кудрявцева (1978).