Вопрос № 17

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу mi тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. Ri — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка.Vi = wRi — её линейная скорость.

Рис. 9.2

Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:

. (9.1)

В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу mi. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.

Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:

.

Заметим, что для всех частиц , поэтому легко вычислить модуль этого вектора Li:

Li = miriVi = miriwRi.

Так как образует угол ai с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:

= LiCosai = miriwRiCosai = miwRi(riCosai) = miw . (9.2)

Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:

. (9.3)

Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.

Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:

или

. (9.4)

Здесь: Mz — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;

wz — угловая скорость вращения;

— новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;

Lz = Izwz — момент импульса тела относительно оси z.

Если момент инерции твёрдого тела Iz не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:

. (9.5)

Здесь ε = — угловое ускорение вращающегося тела.

Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.