Темпоральные логики. Нечеткая и модальные логики.

Основоположником понятия лингвистической переменной является Л. Заде.

Он же заложил основы применения этой переменной к приближенным

рассуждениям. Главная цель введения лингвистической переменной и логики,

основанной на этих переменных, является формализация приближенных

рассуждений, используя теорию нечетких множеств.

В этой логике используются нечёткие количественные понятия (почти все,

много, мало, несколько и т.п.), нечёткие истинностные значения (существенно

истинный, очень истинный, более или менее истинный, ложный и т. п.), а

также иные нечеткие понятия (молодой, редкий, дорогой, красивый, почти

невозможный, невероятный и т.п.).

Лингвистической называется переменная, значениями которой являются

слова или предложения естественного или искусственного языка. Например,

ВОЗРАСТ - можно рассматривать как числовую переменную, а можно

рассматривать как лингвистическую переменную, принимающую следующие

лингвистические значения: очень молодой, молодой, вполне молодой, не

молодой, не молодой и не очень старый, старый и т.п. При этом для каждого

из перечисленных значений нужно задать характеристическую функцию,

называемую смыслом этого значения.

Более точно лингвистическая переменная описывается набором:

(Х, Т(Х), U, G, М)

в котором:

Х - название лингвистической переменной,

Т(Х) - множество лингвистических значений переменной Х,

U - универсальное множество,

G - синтаксические правила, порождающие названия переменной, т.е.

правила определения синтаксических значений,

М - семантические правила, которые ставят в соответствие каждой нечеткой

переменной ее смысл М(Х), т.е. характеристическую функцию для Х.

Отметим, что при определении U и Т(Х) множество понимается в обычном

классическом смысле, а не имеется в виду нечеткие множества. Причём

всюду, когда имеем дело с нечеткими множествами, пишется «нечеткое

множество», если слово «нечеткое» не записано, то это обозначает, что

нечеткости нет. Кроме того отметим, что множество U может быть как

конечным, так и бесконечным, а множество Т(Х) считается конечным.

Структуру лингвистической переменной можно представить в следующем

виде, см. Рис. 5.5.

Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к

нечеткой лингвистической логике, которая существенно отличается от

двухзначной и многозначной логики. Эта нечеткая логика является основой

того, что можно было бы назвать приближенными рассуждениями.

Лингвистическая переменная ИСТИННОСТЬ может принимать, например,

следующие лингвистические значения: существенно истинный, очень, очень

истинный, очень истинный, истинный, не очень истинный, более или менее

истинный,..., существенно ложный.

Смысл каждого

значения

является

некоторой

функцией

принадлежности

на базовом

множестве [0, 1].

Функцию

принадлежности

значения

истинный,

например, можно задать как в предыдущем параграфе, либо, например, с

помощью выражения:

Тогда носителем значения истинный является отрезок [а, 1], см. Рис 5.6. Для

значения ложный функцию принадлежности, например, можно задать

выражением: μ ложный(х) = μ истинный(1-х), график см. на Рис. 5.6.

В некоторых случаях считают, что U есть конечное множество, например,

U={0; 0, 1; 0, 2; 0, 3;...; 0, 9; 1}, которое записывают в виде: U=0+0, 1+0, 2+0, 3+...

+0, 9+1.

При таком задании U функцию принадлежности значения истинный можно

определить, например, так:

истинный=0, 5/0, 7+0, 7/0, 8+0, 9/0, 9+1/1,

где, например, пара 0, 5/0, 7 означает, что совместимость значения истинности

0, 7 со значением истинный равна 0, 5.

Для исследований лингвистических переменных вводятся логические

операции - связки , &, ∨. Ясно, что эти операции будут уже не столь

тривиальны. Здесь нужно будет различать, например, соединение союзом

«и» лингвистических значений (положим, истинный и не истинный) от союза

«и» в высказывании «ИСТИННЫЙ и не ИСТИННЫЙ » Построенная таким

образом нечеткая логика используется в так называемых приближенных

рассуждениях. Приближенные рассуждения лежат в основе способности

человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в шахматы,

принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Данная

логика интенсивно исследуется и находятся ее приложения, в частности,

используется в экспертных системах, в системах читающих рукописный текст

и т.п.

Если исключить невозможное, то то что останется, сколь бы невероятным оно

ни было, должно быть истиной (Шерлок Холмс).

А. К. Дойль

Модальные логики

Назначение различных систем модальной логики состоит в том, чтобы

включить в логику так называемые модальности – прежде всего

необходимости и возможности: того что «должно быть», и того, что «может

быть».

Обычно говорят, что высказывание логически необходимо, если его

истинность может быть установлена независимо от опыта, или чисто

логическим путем. В модальной логике из необходимости высказывания

вытекает его истинность, но не наоборот. Высказывание и его отрицание не

могут быть вместе необходимыми.

Необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем

фактическая истинность. С самого зарождения логики было подмечено

различие между истинными высказываниями, являющимися таковыми, так

сказать в силу необходимости, и высказываниями истинными случайными,

возможными.

Развитие модальной логики можно разбить на три периода:

К первому периоду относится зарождение модальной логики в античности и

некоторое развитие в средневековье. Модальности были введены

Аристотелем, который считал, что термин «возможность» имеет различный

смысл. Аристотелем введены и исследованы модальные силлогизмы и

некоторые другие аспекты модальностей. Проводя исследование

аристотелевской логики, Лукасевич заключает, что в работах Аристотеля

можно найти все элементы необходимые для построения полной системы

модальной логики, однако Аристотель исходил из двузначной логики, в то

время как модальная логика не может быть двузначной. К идее многозначной

логики Аристотель подошёл вплотную, рассуждая о «будущем морском

сражении». Следуя Аристотелю, Лукасевич в 1920 году построил трёхзначную

логику. Тем самым выявляется идейная связь между модальными и

многозначными логиками. Второй период связан с появлением работ К.

Льюиса (примерно 80 лет назад). В этот период строятся формальные

системы (исчисления) модальной логики, выявляются различные черты

модальных понятий. Идея Льюиса состояла в проведении различия между

связками, выражающими логическую необходимость, и связками, не

выражающими такого рода необходимости.

Для третьего периода, начатого работами С. Крипке (конец 1950 годов),

существенно выявление внутреннего единства различных систем, казавшихся

ранее никак не связанными между собой.