Понятие Р- и NP-задач. В зависимости от значений функции f(N) различают следующие классы

В зависимости от значений функции f(N) различают следующие классы

алгоритмов:

1) Задачи, для которых f

(N)=aN (линейная сложность)

Примеры: топологическая сортировка, отыскание остовного дерева и

связанных компонент дерева.

2) Задачи, для которых f(N) является нелинейной, но не более чем

полиномиальной

f(N)=Nm, m ³ 2

Примеры: умножение матриц, нахождение кратчайшего пути в дереве,

нахождение минимума остовных деревьев.

3) Задачи, о которых нельзя сказать, что они обязательно имеют

экспоненциальную сложность, но для которых не известны быстрые

алгоритмы, требующие менее, чем kn операций.

Примеры: задача коммивояжера (TSP), определение изоморфизма,

алгоритм нахождения максимальной клики в графе.

4) Задачи с обязательной экспоненциальной сложностью

f(N)=KN, K ³ 2

Для этого класса не существует быстрых алгоритмов.

Примеры: прохождение всех остовных деревьев графа, всех его циклов и

всех клик.

Для таких задач невозможно открыть новый алгоритм с меньшей

сложностью.

Замечание: Для 3-го класса задач существуют теоретические

предпосылки разработки эффективных алгоритмов с полиномиальной

сложностью (класса 2), но которые пока не найдены. Разработка

полиномиального алгоритма для любой из задач 3-го класса автоматически

означала бы решение всех задач этого класса за полиномиальное время.

Полиномиальный алгоритм – это алгоритм с полиномиальной

трудоемкостью (временем работы).

Полиномиальный или экспоненциальный характер работы алгоритма

инвариантен относительно формы представления входных данных (двоичная,

десятичная или другая система счисления).

Говорят, что алгоритм является полиномиальным, если время его

работы, т. е. временная сложность, ограничивается сверху полиномом

некоторой степени T(N)=O(Nm). Тогда все задачи, которые решаются таким

алгоритмом, образуют Р-класс задач. Говорят, что эти задачи входят в Р.

Задачи, временная сложность которых экспоненциальна (T(N)=O(KN)), не

входят в Р.

Замечание: Можно показать, что задачи с линейной сложностью входят в

Р

T(N)=O(N1)

Введем класс NP-задач, которые можно решить за полиномиальное

время с помощью недетерминированного алгоритма.

Определим состояние алгоритма как совокупность адреса выполняемой в

данный момент команды и значений всех переменных, что эквивалентно

вектору состояния процесса. Поэтому большинство алгоритмов являются

детерминированными, т. е. в них для любого состояния существует лишь

одно допустимое следующее состояние (включая операции условия и

выбора). Это значит, что такой алгоритм в каждый момент времени может

делать что-то одно.

В недетерминированном алгоритме (НДА) для любого данного

состояния может быть больше одного допустимого следующего состояния, т.

е. такой алгоритм в каждый момент времени может выполнить больше одного

оператора.

НДА не является случайным или вероятностным алгоритмом. Он

представляет собой алгоритм, который может находиться во многих

состояниях (это эквивалентно параллельному решению задачи с множеством

вариантов).

Пример:

Детерминированный алгоритм (ДА) решал бы эту задачу

последовательно (перебор всех вариантов, сравнение с критерием

оптимальности K0 до тех пор, пока не выберет альтернативу А0).

НДА может одновременно (параллельно) получить все альтернативы и

сравнить с K0, копируя самого себя в виде отдельного процесса для каждой

альтернативы, которая выполняется независимо.

При этом если какая-либо копия обнаружит, что получен неправильный

результат или результат не получен, то она прекращает свое исполнение.

Если же копия находит решение, удовлетворяющее K0, то она объявляет об

успехе, и все другие копии прекращают работу.

Т. о. НДА характеризуется тремя параметрами:

1. выбор – многозначная функция, значения которой являются

элементами множества S;

2. неудача заставляет копию алгоритма прекратить работу;

3. успех заставляет все копии алгоритма прекратить работу и

сформировать результат.

Очевидно, что никакое физическое устройство не способно на

неограниченное недетерминированное поведение, значит, НДА является

теоретическим методом.

ГА

ВК

ВА ПЗ

Ai A0

K0

Задачи, которые можно решить с помощью полиномиального НДА,

образуют класс NP-задач.