Теоретические упражнения

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1) Понятия числовой последовательности и ее предела.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

2) Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

4) Теорема о пределе промежуточной функции.

5) Понятие непрерывности функции. Доказать непрерыв­ность функции cosx

6) Первый замечательный предел

7) Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

8) Теорема о сумме бесконечно малых функций.

9) Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

10) Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от нуля.

11) Теорема о пределе суммы.

12) Теорема о пределе произведения.

13) Теорема о пределе частного.

14) Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

15) Непрерывность суммы, произведения и частного.

16) Непрерывность сложной функции.

17) Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми.

18) Сравнение бесконечно малых функций.

19) Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно милых функций эквивалентными.

20) Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Доказать, что если , то

Вытекает ли из существования существование ?

Указание. Доказать и использовать неравенство

2) Доказать, что последовательность расходится.

3) Сформулировать на языке «» утверждение: «Число А не является пределом в точке функции , определенной в окрестности точки ».

4)Доказать, что если непрерывная функция, то есть также непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?

5) Сформулировать на языке «» утверждение:
«Функция , определенная в окрестности точки , не яв­ляется непрерывной в этой точке».

6) Пусть ,, а не существует. Доказать что не существует.

Указание. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

7) Пусть функция имеет предел в точке . а функция не имеет предела. Будут ли существовать пределы:

а) ;

б) ?

Рассмотреть пример:

8) Пусть , а функция бесконечно боль­шая при . Доказать, что произведение является бесконечно большой функцией при

9) Является ли бесконечно большой при функция ?

10) Пусть и при

Доказать, что если не существует, то тоже не существует.