Во всяком силлогизме должно быть ровно три суждения

Три суждения — это две посылки плюс одно заключение.

Средний термин должен быть взят во всём объёме хотя бы в одной из посылок

Средний термин — это термин, который присутствует в обеих посылках. «Взят во всём объёме» — это значит, что в суждении перед ним стоит слово «весь». Показать всё это проще всего на примере. Возьмём вот такой силлогизм.

П1: Все панки курят.

П2: Все курящие портят своё здоровье.

З: Все панки портят своё здоровье.

И нарисуем картинку, на которой обозначим панков, курящих людей, и людей, портящих своё здоровье.

Как видим, панки входят в группу курящих, а курящие входят в группу портящих здоровье.

Теперь посмотрим, что будет, если не брать во всём объёме средний термин.

П1: Все панки курят.
П2: Все матросы курят.

Никакого заключения из этого мы сделать не можем. А почему — видно на вот этой картинке:

Матросы могут быть панками, а могут и не быть. Из того, что и те, и другие курят ничего не следует.

Кстати, демагоги часто используют этот приём. Например, так:

П1: Все тунеядцы не работают руками.

П2: Все бизнесмены не работают руками.

З: Все бизнесмены — тунеядцы.

Термины, не взятые во всём объёме в посылках, не могут быть взяты во всём объёме и в заключении

Сразу пример, на типичнейшей ошибке демагогов.

П1: Всем торговцам наркотиками надо отрубать руки.

П2: Некоторые цыгане торгуют наркотиками.

З: Всем цыганам надо отрубать руки.

Правильный (с точки зрения формальной логики, а не с точки зрения разумного человека) вывод был бы следующим: «некоторым цыганам надо отрубать руки».

Ещё пример неправильного силлогизма.

П1: Всех ветеранов войны следует уважать.

П2: Некоторые пенсионеры являются ветеранами войны.

З: Всех пенсионеров следует уважать.

Как мы понимаем, пенсионеры бывают разные. Встречаются среди них люди, скажем так, весьма сомнительных моральных качеств.