Две основные задачи динамики точки.

Первая: Дано движения точки. Требуется определить силу F, вызывающую это движение. Приведём решение задачи в декартовой системе координат. В декартовых осях должны быть заданы следующие параметры в функции от времени t:

. Необходимо найти силы F, под действием которых происходит движение удовлетворяющее этим уравнениям. Задача решается при помощи дифференциальных уравнений.

. Из системы уравнений (1) находим проекции силы. Математически задача сводится к двух кратному дифференцированию функции (*) .

Направляющие косинусы по формулам: .

Вторая: основная задача динамики точки.

Задача ставится обратно: дана сила F, требуется найти закон движения под действием заданной силы R.

Эта задача решается на основании дифференциальных уравнений (2). Математически решение задачи сводится к решению уравнения (1).

.

Общее решение: .

В задачах, наряду с силами, задаются так называемые начальные условия, т.е. указывается начальное положение точки и начальная скорость.

.

Решение дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях (4) называется задача Каши. Как найти произвольные постоянные при помощи начальных условиях. Найдём производные от решения (3):

.

Далее подставим начальные условия (4) в уравнение (3) и (5), тогда имеем:

Решая последние уравнения, находим произвольные постоянные интегрирования:

.

Подставляя постоянные (7) в общее решение (3) получим частное решение дифференциальных уравнений (1). При заданных начальных условиях (4). Это частное решение описывает конкретное движение точки.