Порядок и хаос. Примеры хаотического состояния и состояния порядка.

По мнению древних греков, космос характеризовался такими словами, как порядок, гармония, красота, и выполнял две функ* ции — упорядочивающую и эстетическую, т. е. имел структурную организацию и одухотворенность. Происхождение космоса — акт творения его из беспорядка (хаоса), представлялся как процесс «лепки», совершаемой божественным умом. Философ Анаксагор писал: «Все вещи были вперемешку, бесконечные по множеству и по малости, так как и малость была бесконечной. И пока все было вперемешку, ничто не было ясно различимо: все обнимал аэр (туман) и эфир, оба бесконечные. Ибо изо всех тел, которые содержатся во Вселенной, эти два самые большие и по малости и по величине. Ум же есть нечто неограниченное и самовластное и не смешан ни с одной вещью, но единственный сам по себе... И совокупным круговращением мира правит ум, так что благодаря ему круговращение вообще началось».

Современное представление наделяет хаос неопределенно­стями, движением в форме несогласованных изменений (флук­туаций) любых количественных характеристик, вводит формаль­ные понятия связанных степеней свободы, где под степенями свободы понимается количество независимых параметров дви­жения, параметров состояния. В хаотическом состоянии не об­разуется устойчивых во времени структур, отсутствуют согласо­ванные направленные процессы.

Состояние системы описывается функциями распределения вероятностей по параметрам движения (состояния), например, таким, как координаты, импульсы, энергия частиц, т. е. факти­чески по степеням свободы. Распределения можно задавать и в табличной форме, как это делается в психологии при тестирова­нии или в экономике при фиксации доходов. В математической статистике и теории вероятностей параметры состояния являют­ся случайными величинами и распределение характеризует час- появления случайной величины при испытаниях.

Если характеристики распределения, например, средние зна­чения параметров не меняются с течением времени, то такое ус­тойчивое во времени состояние называется равновесным. Оно характерно для замкнутых систем. Если характеристики распре­делений зависят от времени, то соответствующая статистическая функция описывает эволюцию системы, процессы взаимодейст­вия с другими системами и неравновесные процессы, в том чис­ле и вдали от глобального равновесия.

Беспорядочное движение частиц приводит к случайным флуктуациям параметров, микросостояние «не запоминается» в системе, система «забывает» начальные условия, и все степени свободы в системе являются «связанными» в том смысле, что невозможно выделить какое-либо долго длящееся направленное реальное движение.

Если от случайным образом распределенных микропарамет­ров перейти к усредненным параметрам, которые в этом случае называют макропараметрами (от молекулярной физики к термо­динамике, от микроэкономики к макроэкономике и т. п.), мож­но описывать состояние сложных систем на основе макропара­метров состояния. Так, например, дня многофазной и много­компонентной системы в термодинамике определяется число термодинамических степеней свободы с помощью «правила фаз Гиббса»: /= п — к + 2, где п — количество независимых компо­нент в системе (химических веществ), а к — число различных фаз, в частности, агрегатных состояний. Показано применение правила фаз Гиббса для воды (однокомпоненти одно-, двух- и трехфазная система). Следует отметить, что пространство состояний этой системы разбивается на отдельные «кластеры» (связанные системы точек с одинаковыми характеристиками), поверхности с «чистым» агрегатным состояние либо жидким, либо твердым, либо газообразным.

Беспорядок можно моделировать на компьютере с помощью генератора случайных чисел, создавая «квазиброуновское» движение. Моделью реального хаотического движения частиц в веществе служит беспорядочное перемещение осколков магнитов соленоиде, т. е. в катушке, по обмотке которой проходит переменный электрический ток.

При моделировании структуры твердого тела с помощью од. точных полимино различной формы удается получить мозаики разбиений пространства (плоскости) без видимого порядка (рис 10). Заметим, что на правой стороне рисунка тип разбиения совпа- дает с характеристикой «сети», образованной границами полимино на левом рисунке, т. е. сохранены степени всех вершин. Степень вершины определяется количеством линий, сходящихся в этой вершине. Каждому полимино слева соответствует многоугольник справа, причем тип многоугольника отвечает «координационному окружению» выбранного полимино, т. е. числу контактирующих с ним соседей — полимино. Можно считать, что мозаика, изобра­женная справа, «кодирует» левую мозаику. В приведенном приме­ре термины: «полимино», «разбиение», «координационное окруже­ние», «сеть» и тем более «тип» должны быть определены строго, так как принадлежат языку науки. Однако в данном конкретном тексте они описывают только то, что наблюдается, а следователь­но, введены по логике «здравого смысла».

Заметим, что пока неизвестен общий алгоритм построения непериодических разбиений плоскости на полимино заданной формы, в то время как для трансляционных (периодических) мозаик критерий разбиения найден.

Категорией противоположной хаосу является антихаос, или порядок.

Будем понимать под по­рядком наличие в системе устойчивых движений, суще­ствование «закономерности», «запоминаемость» определен­ных конфигураций. Одним из основных признаков упо­рядоченного состояния явля­ется уменьшенное по сравне­нию с хаотическим числом параметров, определяющих это состояние, наличие свя­зей в системе и согласований между параметрами. С точки зрения кодирования, поря­док требует меньшего коли­чества символов для записи состояния, чем беспорядок. Приведем несколько приме­ров упорядоченных состоя­ний.

1. В обычном бильярде существуют устойчивые циклически, движения без трения такие, как это изображено на рис. ц При заданных начальных условиях траектории предсказуем^ упорядочены. В бильярдах Синая (см. рис. 11, б) траектории стабильны, неустойчивы.

2. В мире молекул переход из беспорядочного газообразного в жидкое, а затем в твердое состояние приводит к образованию структуры твердых тел — кристаллов, внешняя форма ко­торых (рис. 12) издавна служит символом порядка.

3. В моделях плотнейшей упаковки полимино, используя it же «кирпичики», что и при демонстрации беспорядка (см. рис. 10), получаем варианты структур с глобальной симметрией оси 4-го порядка (поворот на 90°) или с трансляционной симметри­ей решетки