Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Производная неявно заданной функции.
|
|
Теорема.: Пусть непрерывная ф-я y от x задается ур-ем F(x, y)=0, где F(x, y), Fx’(x, y), Fy’(x, y) – непрерывные ф-и в области D, Fy’(x, y)≠ 0. Тогда y’x= 
.
Док-во: F(x, y)=0, 
F(x+∆ x, y+∆ y)=0
F(x+∆ x, y+∆ y)- F(x, y)=0 – это полное приращение к ф-и F(x, y).
, где γ 1, γ 2→ 0 при ∆ x, ∆ y→ 0
; 
; 
;
Рассмотрим случай трех переменных. Ур-е вида F(x, y, z)=0 задает ф-ю z =z(x, y) неявно.
Найдем частные производные z’x, z’y
z’x= 
; z’y= 
;
Производная по направлению.
| y |
| x |
| y0 |
| y0+∆ y |
| x0+∆ x |
| x0 |
| (x0+∆ x, y0+∆ y) |
|
| P0 |
Определить в данной точке P0 скорость изменения ф-и в заданном направлении.
∆ x = ∆ l cosα
∆ y = ∆ l sinα
∆ u=f(x0+∆ x, y0+∆ y)-f(x, y)= 
Делим на ∆ l: 
Опр.: Производной ф-и u=f(x, y) по направлению вектора наз-ся 
; 
, где β – угол между и Оy;
Зам: 1) 
скорость изменения u по оси Ox;
скорость изменения u по оси Oy;
2) Если u = u(x, y, z), то
.
|
|