Дифференцирование сложной функции

Пусть z = f(u, v), где , где u(x, y), v(x, y) – диф-мы, неп-ны. Тогда z = f(u(x, y), v(x, y)) – сложная ф-я переменных x, y. Рассмотрим ∆ x, тогда функции u, v – получают приращение ∆ _xu, ∆ _xv

, где γ ₁, γ ₂→ 0. Делим на ∆ x:

∆ x→ 0 по непрерывности

.Т.о.

Производные высших порядков. Формула Тейлора для ф-и 2х переменных.

Частные производные второго порядка:

Рассмотрим : :

Частные производные третьего порядка:

Зам.: Результат повторного диф-я, если рассматриваемые производные непрерывны, не зависит от порядка в котором диф-е выполнялось, а только от кол-ва сделанных по каждой из переменных диф-й.

ф.Тейлора

f(x, y)-f(x₀, y₀)=df(x₀, y₀)+ d²f(x₀, y₀)+…+ dⁿf(x₀, y₀)+ d^n+1f(x₀+θ ∆ x, y₀+θ ∆ y), где 0< θ < 1, ∆ x=x-x₀, ∆ y=y-y₀;

Ф-я двух переменных должна быть непр-на вместе со своими частными производными до (n+1) порядка включительно в окрестности т.(x₀, y₀).

dⁿf=d(d^{n-1f); d2}f=d(df)=d()=

()dx+()dy;

d²f=