Эвольвента окружности, ее уравнения и свойства.

Эвольвентой называется кривая, очерчиваемая точкой прямой, при перекатывании этой прямой по окружности без проскальзывания (рис. 1). В теории зацепления прямую называют производящей (образующей), а окружность – основной окружностью (радиус r_b).

Рассмотрим построение эвольвенты Е (рис. 1). В произвольной точке эвольвенты М проведем нормаль, которая касается основной окружности в точке В, получаем радиус кривизны эвольвентыρ.

Из прямоугольного треугольника Δ ОВМ найдем катет МВ:

Из условия образования эвольвенты радиус кривизны МВ должен быть равен длине развертываемой дуги АВ основной окружности: È АВ = r_b × (q + a),

где q-полярный угол наклона радиус вектора; a -угол между направлением радиус вектора и направлением радиуса основной окружности проведенного в точке касания нормали. Отсюда:

Разность тангенса и угла представляет собой эвольвентную функцию называемую инволютой. Инволюта является параметром для геометрических расчетов зубчатых механизмов.

Свойства эвольвенты:

· эвольвента не имеет точек внутри основной окружности;

· нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касательной к основной окружности;

· центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.