Закон Пуассона.

Пусть СВ Х принимает значения:

Х=0, 1, 2, …, m, …

P(X=m)=P_n(m)=(e^-λ λ ^m)/m!

Р-вероятность появления события А в одном из n независимых испытаний, когда n достаточно велико, а р-мало. λ =nр

Запишем ряд распределения СВ Х, который будет называться законом Пуассона.

_∞

∑ p_і= e^-λ + e^-λ /1! + e^-λ λ ²/2! +...+

^і=1

e^-λ λ ^m/m! +...= e^-λ (1+λ /1! + λ ²/2! +...+ λ ^m/m! +…)

Выражение в скобках представдяет собой ряд Маклорена для функции

e^x=1+х/1! +х²/2! +…, при х= λ

_∞

∑ λ ^m/m! = e^λ

^m=0

∑ p_і= e^-λ * e^λ

Определим числовые характеристики закона Пуассона: М(Х)=λ; D(Х)=λ; σ (Х)=√ λ

Доказательства:

_{∞ ∞}

1. М(Х)= ∑ (me^-λ λ ^m)/m! = e^-λ ∑ λ ^m/

^{m=0 m=1}

_∞

/(m-1)! = e^-λ λ ∑ λ ^m-1/(m-1)! =e^-λ λ * e^λ

^m=1

=λ

М(Х)=λ, ч.т.д.

2. D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²=

_{∞ ∞}

= ∑ (m²e^-λ λ ^m)/m! = e^-λ ∑ mλ ^m/(m-1)! =

^{m=0 m=1}

_∞

= ∑ e^-λ ∑ ((m-1)+1)λ ^m/ (m-1)! =

^m=1

^∞

= e^-λ ∑ ((m-1)λ ^m/(m-1)! +λ ^m/(m-1)!)=

^m=1

_∞ ^∞

= e^-λ ∑ (m-1)λ ^m/(m-1)! + e^-λ ∑ λ ^m/

^{m=1 v=1}

_∞

/(m-1)! = e^-λ ∑ λ ^m-2 λ ²/(m-2)! +

^m=2

_{∞ ∞}

+ e^-λ ∑ λ ^m/(m-1)! = e^-λ λ ²∑ λ ^m-2/(m-

^{m=1 m=2}

_∞

2)! + e^-λ λ ∑ λ ^m-1/(m-1)! = e^-λ λ ²* e^λ +

^m=1

+ e^-λ λ * e^λ = λ ²+ λ

М(Х²) = λ ²+ λ

D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²= λ ²+ λ - λ ²= λ

D(X)=M(X)= λ

3. σ (Х)=√ D(Х)=√ λ, ч.т.д.

Замечание: закон Пуассона зависит от одного параметра λ; биноминальный закон зависит от n, p.

B(n; p)

31. M(x), D(x) СВ, распределённых по закону Пуассона

M(x)=

D(x)=M(x²)-(M(x))²

M(x²)=

D(x)=M(x²)-(M(x))²= - = (+см. п. 30)

В законе Пуассона мат. Ожидание равно дисперсии M(x)=D(x)=λ

Закон Пуассона зависит от одного параметра λ, биномиальный закон зависит от n, p

32.)плотность распределения вероятностей непрерывных СВ. Её свойства.

Пусть рассматривается непр. СВ Х ф-ии распр-я F(x), которая непрерывна и диф-на в рассматриваемой области (вся ось OX). Рассмотрим отрезок x+∆ x

P(x< X< x+∆ x)=F(x+∆ x)-F(x)=P(x< X< x+∆ x)/ ∆ x= ,

f(x)=F`(x) (1)плотность распределения вероятностей непр. СВ Х

Вер-ть попадания НСВ на интервал теорема:

Док-во: P(a< X< b)= F(b)-F(a), где F(x)- ф-я распределения СВ Х.

f(x)=F`(x) - ф-я распр-я F(x) является первообразной для плотности распределения f(x), поэтому =F(b)-F(a)= =P(a< X< b)

Теорема 2: если известна плотность распределения f(x) НСВ Х, то ф-ия распределения F(x)= (2)

Док-во: F(x)=P(X< x)=P(-∞ < X< x)=

Основные свойства плотности распределения:

1) f(x) определена на (-∞; +∞)

доказательство следует из того, что f(x)=F`(x), а ф-ия распределения F(x) неубывающая, => её производная F`(x)> 0

2) Условия нормировки: (3) доказательство следует из формулы (2)