Интерполирование функций

Дана табличная функция, т.е. дана таблица, в которой для некоторых дискретных значений аргумента x_i, расположенных в порядке возрастания, заданы соответствующие значения функции у_i:

Точки с координатами (x_i, y_i) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно

На графике табличная функция представляется в виде совокупности узловых точек (рис. 10.1.).

Рис. 10.1. Представление табличной функции

Длина участка [x₀, x_n] равна (x_n – x₀).

В расчетной практике инженера часто возникают задачи найти значение функции для аргументов, которые отсутствуют в таблице. Такие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования.

Задача интерполирования функции (или задача интерполяции) состоит в том, чтобы найти значения y_k табличной функции в любой промежуточной точке х_к, расположенной внутри отрезка [x₀, x_n], т.е.

и

Задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции) состоит в том, чтобы найти значения y_l табличной функции в точке х_l, которая не входит в промежуток [x₀, x_n], т.е.

Такую задачу часто называют задачей прогноза.

Обе эти задачи решаются при помощи нахождения аналитического выражения некоторой вспомогательной функции F(x), которая приближала бы заданную табличную функцию, т.е. в узловых точках принимала бы значение табличных функций

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем искать из класса алгебраических многочленов:

(*)

Этот многочлен должен пройти через все узловые точки, т.е.

(**)

Поэтому степень многочлена n зависит от количества узловых точек N и равна количеству узловых точек минус один, т.е. n=N-1.

Многочлен вида (*), который проходит через все узловые точки табличной функции называется интерполяционным многочленом.

Интерполирование с помощью алгебраических многочленов называется параболическим интерполированием.

Таким образом, для решения задачи интерполирования прежде всего необходимо решить задачу, которую можно сформулировать следующим образом:

для функции , заданной таблично, построить интерполяционный многочлен степени n, который проходит через все узловые точки таблицы:

где n -степень многочлена, равная количеству узловых точек N минус один, т.е. n=N-1.

В результате, в любой другой промежуточной точке х_k, расположенной внутри отрезка [x₀, x_n] выполняется приближенное равенство Pn(xk)= yk. (рис. 10.2.)

Рис. 10.2. Интерполирование функции

Контрольные вопросы

1. Как происходит интерполирование функции?

2. Покажите табличное представление функции.

3. Как решается задача прогноза?

4. Какие математические методы используют для экстраполяции функции?

5. Где происходит практическое применение интерполирования и аппроксимации функций?