Линейные комбинации четырёх векторов

Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.

10) Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов(добавление к системе еще одного вектора делает ее линейно зависимой).

Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k +1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dim L = k. Пространство L называется k - мерным. Иногда обозначается L _k.

11) Скалярным произведение называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

1) Переместительный закон.

2) Сочетательный закон.

3) Распределительный закон.

4)Скалярный квадрат а^2 вектора а равен квадрату его длины |a|^2=a^2.

5)Необходимым и достаточным условием перпендикулярности ненулевых векторов a и b является равенство нулю их скалярного произведения.

12) Векторным произведение векторов a и b называется вектор c, опрделяемый следующим образов:

c=axb;

Свойства:

1) Антипереместительный закон: a^xb=-b^xa;

2) Сочетательный закон.

3) Распределительный закон.

4) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b: S=|a^xb|, а площадь треугольника S/2.

5) Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов a и b является равенство нулю их векторного произведения.

13) Смешанным произведение трех векторов a, b, c называется произведtние (a^xb)c.

Свойства:

1) (a^xb) ^xс= a^x(b^xc);

2) При перестановке в смешанном произведении двух векторов его знак меняется на противоположный.

3) При круговой перестановке векторов в смешанном произведении знак не меняется.

4) Объем параллелепипеда, построенного на a, b, c: V_пар=|abc|.
Объем треугольной пирамиды V_пир=|abc|/6.

5) Необходимым и достаточным условием компланарности 3 ненулевых векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения.

14) Уравнением на плоскости F(x, y)= 0 называется уравнение линии на плоскости, если ему удовлетворяют координаты (x, y) каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

15) Кривые 2-ого порядка.

Общим уравнением кривой 2-ого порядка называется уравнение II степени относительно текущих координат.
Ax^2+ Bxy^2+ Cy^2+ 2Dx+ 2*E*y+ F=0. A^2+ B^2+ C^2! = 0;
A, B, C, D, E, Fэ R.

Эллипс
Эллипсом называют гмт, сумма расстояний от которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2a. Если фокальная расстояние |F₁F₂|= 2с, то 2c < 2a.

16) Гиперболой называется гмт, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2a. Если фокальная расстояние |F₁F₂|= 2с, то 2c < 2a.

17) Параболой называется гмт, равноудаленных от точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

18) Г

19) Г

20) ρ =​ ​ A ​ x ​ 0​ ​ ​ ​ + B ​ y ​ 0​ ​ ​ ​ + C ​ z ​ 0​ ​ ​ ​ + D ​ / √ ​ A ​ 2​ ​ + B ​ 2​ ​ + C ​ 2​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

21) Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Ax2+By2+Cz2+2Fyz+2Gzx+2Hxy+2Px+2Qy+2Rz+D=0,