Введение. Постановка задачи и доказательство единственности решения .. ..6

Постановка задачи и доказательство единственности решения …..…..6

§2. Доказательство существования решения задачи 1 ………..……………19

§3. Случай, когда и – комплексные параметры ………………………30

Литература ……………………………………………………………………..33

Введение

Теория уравнений смешанного типа – один из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, возникшая за последние 80 лет и развивающаяся особенно интенсивно, начиная с 50-х годов. Эта теория получила интенсивное развитие в последнее время, так как появилось достаточно много прикладных задач, математическое моделирование которых обусловливает изучение различных типов уравнений в рассматриваемой области изменения независимых переменных. Первые фундаментальные результаты в этом направлении были получены Ф.Трикоми.

Существует ряд работ отечественных и зарубежных математиков, в которых исследуются основные смешанные краевые задачи и ставятся новые корректные задачи для уравнений смешанного типа.

Отечественные математики внесли существенный вклад в развитие теории уравнений смешанного типа Ф.И.Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Академик И.Н.Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникших в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. А.В.Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа.

Из принципа экстремума непосредственно следует единственность решения задач.

Работы Трикоми, а также дальнейшее исследование уравнений смешанного типа вызвали интерес к изучению эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области.

В настоящее время понятие уравнений смешанного типа значительно расширилось и включает всевозможные комбинации двух или трех классических типов уравнений. Интенсивное исследование уравнений смешанного типа обусловлено тем, что с одной стороны новые типы смешанных уравнений еще мало исследованы в теоретическом плане, с другой – они находят широкое применение в важных вопросах механики, физики и техники.

Курсовая работа посвящена исследованию одной краевой задачи для уравнений смешанного типа третьего порядка

в области , ограниченной при отрезками прямых Соответственно и характеристиками уравнения (1) при , где и – числовые параметры.

Данная работа состоит из введения и двух параграфов.

В первом параграфе дается постановка задачи, и доказывается ее однозначная разрешимость.

Задача. Найти функцию из класса

удовлетворяющую граничным условиям

где – заданные непрерывные функции, непрерывна вместе со своей производной, причем

Пусть .

Результатом данной работы является исследование однозначной разрешимости задачи для различных значений .

Единственность решения задачи устанавливается методом интегралов энергии.

В первом параграфе доказаны две теоремы.

Теорема 1. Пусть – регулярное в области решение однородной задачи, удовлетворяющее условию

Тогда в 𝛺 при всех и

Теорема 2. Пусть – решение однородной задачи из класса регулярных решений уравнения (1) удовлетворяющее условию

Тогда в 𝛺, если , или если и , или .

Во втором параграфе доказывается существование решения задачи.

Искомое решение задачи в гиперболической части смешанной области находится как решение задачи Коши, а в области – как решение уравнения (1) при , удовлетворяющее граничным условиям (2) и условию

Эта задача эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

где – известная функция, - функция Грина краевой задачи (2) и для уравнения , которое в силу единственности решения задачи однозначно разрешимо.