Решение типовых примеров

Содержание

Введение. 4

Контрольная работа № 1. 5

Решение типовых примеров. 5

Распределение заданий. 10

Задания к контрольной работе № 1. 11

Контрольная работа № 2. 22

Решение типовых примеров. 22

Распределение заданий. 25

Задания к контрольной работе № 2. 26

Теоретические вопросы.. 30

Приложения. 32

Справочные материалы.. 32

Образец оформления титульного листа. 35

Список рекомендуемой литературы.. 36

Введение

Настоящее пособие предназначено для студентов дистанционного обучения. Пособие содержит образцы решения задач, задания для контрольных работ, теоретические вопросы, справочные материалы и список литературы.

При выполнении контрольных работ следует руководствоваться следующими указаниями.

1. За учебный год студент должен выполнить две контрольные работы, состоящие из решения заданий и написания теоретических вопросов. Вариант для заданий выбирается в соответствии с двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента. Распределение заданий приводится в таблицах 1 и 2 данных методических указаний.

За первый семестр выполняется контрольная работа № 1, включающая три задания (вариант см. в табл. № 1) и ответ на теоретические вопросы с 1 по 11 (см. стр. 30-31) письменно.

За второй семестр – контрольная работа № 2, включающая четыре задания (вариант см. в табл. № 2) и ответ на теоретические вопросы с 12 по 28 (см. стр. 30-31) письменно.

2. Каждую работу следует выполнять в отдельной ученической тетради в клетку. Титульный лист оформляется по образцу (см. приложение). Решения всех задач и пояснения к ним должны быть подробными. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

3. Если работа не зачтена, она возвращается студенту. Студент должен в кратчайшие сроки исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

Контрольная работа № 1

Решение типовых примеров

Задание № 1 Вычислить пределы

1) ; 2) ,

3) , 4) .

Решение.

1) .

2) , при подстановке вместо переменной х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой

ax ² + bx + c = a (x – x ₁)∙ (x – x ₁),

где х ₁, х ₂ – корни квадратного трехчлена ax ² + bx + c.

У нас , так как дискриминант квадратного трехчлена а следовательно, х ₁ = 3, . Аналогично x ² – x – 6 = (x - 3)∙ (x + 2).

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

;

3) .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

;

4)

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

; .

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Задание № 2 Найти производные функций

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

При решении всех последующих примеров на нахождение производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

а) ;

б) ;

в)

г) если задана сложная функция y = f (u), где u = j (x), то есть y = f (j (х)); если каждая из функций y = f (u) и u = j (x) дифференцируема по своему аргументу, то

Решение.

1) ,

2)

;

3)

;

4)

.