Строение газовых вихрей

Начало современной теории вихревых движений положил Г.Гельмгольц, опубликовавший в 1858 г. свой мемуар «Об интеграле гидродинамических уравнений, соответствующих вихревому движению» [3, 4], в котором он впервые сформулировал теорему о сохранении вихрей. Согласно этой теореме, при силах, удовлетворяющих закону сохранения энергии, невозможно создать или уничтожить уже существующий вихрь и, более того, невозможно даже изменить напряжение последнего. Зарождение и угасание вихрей, наблюдаемые в природе, целиком определяются пассивными силами трения. Только благодаря этим силам осуществляется вихрь, и они же заставляют зародившийся вихрь потухать. Им же указана аналогия между скоростями движения частиц жидкости и силами действия гальванических токов на магнитный полюс.

Рассматривая движение двух прямолинейных параллельных вихрей в идеально несжимаемой жидкости, Гельмгольц показал, что плоскость, делящая расстояние между двумя вихрями с равными по величине напряженностями, но разными по знаку, может приниматься за стенку, если она перпендикулярна к указанному расстоянию. Вихрь будет двигаться параллельно этой стенке, и весь эффект стенки сводится, таким образом, к эффекту, происходящему от изображения вихря, если стенку рассматривать как зеркало.

Частные случаи теоремы о сохранении вихрей были уже известны Лагранжу. В своей «Аналитической механике», опубликованной в 1788 г. [5], он доказывает, что движение идеальной жидкости, обладая потенциалом скоростей в какой-либо момент времени, остается таковым за все время движения. Далее Коши и Стокс доказывали, что всякая частица идеальной жидкости никогда не получает вращения от окружающей среды, если не обладала им в начальный момент времени.

В 1839 г. шведский ученый Свенберг доказал следующую теорему: угловые скорости вращения частиц в различных положениях ее на траектории всегда обратно пропорциональны квадратам расстояния ее от траектории движения. Отсюда заключение: частица жидкости, получив в какой-либо момент угловую скорость, никогда не перестанет вращаться и, наоборот, частица жидкости не будет вращаться, если в начале движения ее угловая скорость была равна нулю.

Гринхилл в 1877–1878 гг. рассмотрел задачи о движении вихрей в жидкости, ограниченной цилиндрическими поверхностями. Пользуясь методом изображений, он решил задачи о плоском движении одного и двух вихрей внутри и вне поверхности круглого цилиндра, а также в пространстве, ограниченном поверхностью прямоугольной четырехугольной призмы.

В 1876–1883 гг. английский физик О.Рейнольдс [8] экспериментально установил критерий перехода ламинарного течения в цилиндрических трубах в турбулентное и ввел критерий, характеризующий критическое соотношение между инерционными силами и силами вязкости, при определенном значении которого ламинарное течение переходит в турбулентное и далее в вихревое. Это соотношение Re = ρ vl/η, названное «числом Рейнольдса», связывает ρ –плотность жидкости, v - скорость потока, l- характерный линейный размер, η – динамический коэффициент вязкости и позволяет определить условиях образования турбулентностей и вихрей в конкретных случаях течений жидкостей вблизи различных поверхностей и форм.

Жуковский разработал теорию так называемых «присоединенных» вихрей, имеющую фундаментальное значение для многих приложений [9]. В.Томсон, основываясь на теореме о сохранении вихрей, выдвинул особую атомистическую гипотезу [10–11]. Он предположил, что все пространство Вселенной заполнено эфиром – идеальной жидкостью, в которой атомы материи представляют собой бесконечно малые замкнутые вихри, зародившиеся в этой жидкости. Разнообразие в свойствах атомов В.Томсон объяснил многообразием движений, в котором находятся частицы одного простого вещества. Вихревая теория атомов, созданная В.Томсоном, не получила признания и развития. Только в 20-х годах ХХ столетия немецкий гидродинамик А.Корн попытался вновь воскресить идеи В.Томсона, но применительно не к атомам вещества, а к толкованию природы электрона. Несколько позже Н.П.Кастерин сделал попытку построения вихревой теории элементарных частиц. Однако идеи А.Корна и Н.П.Кастерина были встречены с большим недоверием широкой научной общественностью.

В гидромеханике, как известно, принято различать ламинарное, турбулентное и вихревое движения, переход от одного из них к другому определяется числом Рейнольдса Re:

Re = vl/c, (5.3)

где v – скорость течения среды; l – характерный линейный размер; c – кинематическая вязкость среды. Переход от ламинарного движения к турбулентному начинается от значений чисел Рейнольдса порядка 2000 (по исследованиям самого Рейнольдса от 2300), однако возникающие турбулентности не обязательно сопровождаются поворотом (вращением) частиц среды. Если же при таких значениях чисел Рейнольдса происходит поворот частиц среды, то движение становится вихревым.

При движении потоков газа относительно других потоков или покоящихся масс на границах потоков возникает пограничный слой, в котором возникает градиент скоростей [22]. В пограничном слое имеет

место снижение температуры, так как

Т= Т_∞ –(Pr)^{0, 5}u² /2c_P, (5.4)

где Pr – число Прандтля, равное

Pr = η c_P/k_т; (5.5)

u - скорость границы пограничного слоя; c_P – теплоемкость среды при постоянном давлении; η - динамическая вязкость; k_т – коэффициент теплопроводности.

Наличие градиента скоростей эквивалентно в каждой точке среды наличию двух противоположно направленных потоков. Уменьшение температуры приводит к уменьшению в пограничном слое коэффициента динамической вязкости [18, с. 285, 316–318; 22], так как

h /h_о = (Т/Т_о)^x, 0, 5 ≤ x ≤ 1. (4.53)

что в свою очередь повышает стабильность вихревого образования, поскольку энергия, передаваемая им соседним слоям внешней среды, уменьшается (рис. 5.2).

Экспериментальным подтверждением снижения температуры в пограничном слое является широко известный факт оледенения поверхностей крыльев летящего самолета. В пограничном слое вихря имеет место падение давления, что является следствием того, что центробежная сила, стремящаяся отбросить газ, находящийся в пограничном слое, в установившемся движении должна быть уравновешена силой, которая возникает из-за разности давлений внешней среды и слоев, находящихся в области, располагающихся ближе к центру вращения (рис. 5.3).

Падение вязкости в пограничном слое вихря, с одной стороны, и отброс центробежной силой газа из центральной области вихря на периферию, с другой, способствуют тому, что газовый вихрь формируется как вращающаяся труба, в стенках которой размещается основная масса вихря.

Если внутренние силы превышают внешние, элемент газа оторвется от трубы. Сумма внутренних сил оставшегося в стенках газа оказывается меньше внешних или равна им, – последнее состояние является неустойчивым. Сжатие тела вихря внешними силами – давлением окружающей среды – вызывает увеличение скорости вращения, причем внутреннее давление при этом падает, так что равновесие остается неустойчивым и вихрь продолжает сжиматься.

На элемент такой трубы действуют центробежная сила и разность внешнего и внутреннего давлений, так что

dF = adm = (P_e – P_i)dS – ω ² rdm, (5.7)

где dS = rh_odα; а – ускорение вдоль радиуса, приобретенное массой dm; r – радиус, на котором находится эта масса от центра трубы; h_o – длина отрезка трубы, dα – угол, занимаемый элементом массы dm. Как видно из выражения 5.7, при некотором значении радиуса

имеем ω ² r dm > (P_e – P_i)dS, т.е. ускорение будет положительным и масса dm будет отброшена от вихря. Оставшаяся часть имеет r ≤ r_o. При r < r_o величина а имеет отрицательный знак, и вихрь начинает сжиматься внешним давлением. Разность сил составит:

dF = (P_e – P_i)dS = ω ² r dm. (5.10)

Учитывая, что

P = ρ RT (5.11)

и что во внутренней области плотность ρ уменьшается за счет отброса газа центробежной силой к стенкам, имеем:

Дальнейший процесс будет определяться требованиями сохранения момента количества движения:

L = rmu = const. (5.14)

Следовательно,

Таким образом, имеет место сложная зависимость изменения сил в стенках вихря от радиуса. Если первый член с уменьшением радиуса уменьшается, то второй и третий члены увеличиваются. Сокращение радиуса будет продолжаться до тех пор, пока третий член не скомпенсирует первые два, при этом вихрь будет характеризоваться существенно повышенной плотностью газа в стенках и существенно меньшей, чем окружающая среда, температурой. В центре вихря давление будет понижено по сравнению с окружающим вихрь газом. Это понижение связано не только и не столько с уменьшением плотности газа внутри вихря, сколько с понижением температуры.

К оглавлению