Построение агрегированной модели трехуровневой ИС: предприятие - отрасли - регион и ее решение.

13.2.1. Введение.

При формировании годовых пятилетних планов предприятий обычно исследуется от нескольких сот до нескольких тысяч изделий и, если учесть, что в отрасли находится до нескольких десятков предприятий, то понятно, что задача (13.1.1)-(13.1.7) имеет очень большой объем информации и решение ее «в лоб» не представляется возможным. Для уменьшения объема информации, обрабатываемой в модели (13.1.1)-(13.1.7), при переходе от уровня предприятия к уровню отрасли и от уровня отрасли к уровню региона используем композиционные и декомпозиционные методы последовательного агрегирования информации разработанных в [1, 2].

13.2.2. Агрегирование информации в математической модели: отрасль - предприятия

Для упрощения дальнейших вычислений выделим из модели (13.1.1)-(13.1.7) двухуровневую ИС отрасль - предприятия:

Opt F_o(X_o(t))={opt F_1o(X_o(t)) = {f_кп (X_п(t)), к= _п, п= _o}, (13.2.1)

opt F_2o(X_o(t))={f_ко(X_o(t))= f_кп(X_п(t)), к= _o, K_o= K_п }}, (13.2.2)

a_ijx_j(t) £ b_i, i Î M_o, (13.2.3)

a_ijx_j(t) £ b_i, i Î M_п, п= _o, (13.2.4)

x_j(t) £ u_j(t), j= _п, п= _o, " oÎ O_r, " rÎ R. (13.2.5)

Обозначения аналогичные, как и в модели (13.1.1)-(13.1.7).

Агрегирование информации в модели (13.2.1)-(13.2.5) возможно при условии, что все предприятия, входящие в отрасль, должны иметь соизмеримые критерии (например, объемы продаж, прибыль, товарная и валовая продукция и т.п. для машиностроительных отраслей; объем строительно-монтажных работ, ввод основных фондов, капитальных вложений и т.п. для строительной отрасли и т.д.).

Предполагается, что выполняются основные условия агрегации [2], при этом несколько критериев (как минимум один) для всех предприятий входящих в отрасль oÎ O_r в (13.2.1)-(13.2.5), должны обладать свойством аддитивности, т.е. критерии различных предприятий могут складываться, сохраняя технико-экономическую сущность показателя. Один из таких критериев назовем ведущим критерием.

Далее представим описание в соответствии с методикой (см. 5.6.2) в [2]

Шаг 1. Пусть в ВЗЛП (13.2.1)-(13.2.5) для всех предприятий ведущим критерием будет vÎ K - объемы продаж, получаемые от производства Х_п , " пÎ П_o, " oÎ O_r объемов продукции.

Шаг 2. Решим ВЗЛП (13.2.1)-(13.2.5) для всех предприятий. в результате получим, что ведущий критерий f_v(Х*) для каждого предприятия лежит в пределах от величины f_v(Х^o_п), полученной при равнозначных критериях, до f_v(Х*), полученной при решении ВЗЛП по одному критерию vÎ K, т.е.

f_v(Х_п^o(t)) £ f_v(Х_п(t)) £ f_v(Х*(t)), (13.2.6)

остальные критерии и ограничения определяются аналогично:

f_кп(Х^o_п(t)) £ f_кп (Х_п(t)) £ f_кп(Х*(t)), kÎ K (13.2.7)

A_iХ^o_п (t) £ A_iХ_п(t) £ A_iХ*(t), iÎ M. (13.2.8)

Шаг 3. Представим ведущий критерий f_v(Х_п(t)) одной переменной y_п=f_v(Х_п(t)), тогда обозначая y^o_п(t)= f_kп(X^o_п(t)), y*_п(t)=f_п(Х*_п(t)), соотношения (13.2.8) примут вид y^o_п(t) £ y_п(t) £ y*_п(t).

Примечание. Представление ведущего критерия f_v(Х_п(t)) одной переменной это частный случай общего подхода, когда ведущий критерий f_v(Х_п(t)) может быть представлен двумя, тремя и т. д. количеством переменных.

Шаг 4, 5. Предполагая линейную функциональную зависимость между ведущим критерием и остальными критериями и ограничениями при оптимизации, преобразуем их:

f_kп(Х^o_п(t)) £ c^o_kп +c_kпy_п (t)£ f_кп(Х*(t)), (13.2.9)

А_iX^o_п (t)£ a^o_iп+a_iпy_п(t) £ A_iX*(t), iÎ M. (13.2.10)

Расчет аппроксимационных коэффициентов см. раздел 5.6.

Шаг 6. С учетом введенных обозначений (13.2.9)-(13.2.10), преобразуем модель отдельного предприятия, входящую составной частью в ИС отрасль - предприятия (13.2.1)-(13.2.5) и имеющую N_п переменных X_п(t)={x_j(t), j= _п}, в векторную задачу, имеющую одну переменную Y_п(t) ={y_n(t), " пÎ П _o}:

opt f_kп(X_п(t)) Û opt f_kп(Y_п(t) ={

{opt f1_vп(Y_п(t)) =y_n(t), vÎ K}, (13.2.11)

{opt f2_kп(Y_п(t) =c^o_ko+c_kn y_n(t)), к= _п }}, (13.2.12)

(a⁰_in+a_in y_n(t)) £ b_i , iÎ M, (13.2.13)

(a⁰_in + a_in y_n(t)) £ R_i, iÎ M, (13.2.14)

y_n^o(t) £ y_n(t) £ y_n*(t), " пÎ П _o, " oÎ O, (13.2.15)

где соотношение opt f_kп(X_п(t)) Û opt f_kп(Y_п(t) показывает, что векторный критерий f_kп(X_п(t)), описывающий функционирование п-го предприятия и взятый из (13.2.1), эквивалентен f_kп(Y_п(t) - агрегированному векторному критерию, каждая компонента которого функционально зависит от агрегированного вектора переменных Y_п(t) ={y_n(t)}, " пÎ П_o, " oÎ O, (в нашем случае вектор Y_п(t) состоит из одной компоненты, в общем случае таких компонент может быть любое количество и оно определено на шаге 3). Эквивалентность критериев (знак Û) говорит о том, что количество компонент у них одинаково, а их величина отличается друг от друга соответственно на величину равную ошибке аппроксимации (подробнее см. в [2]);

агрегированный векторный критерий f_kп(Y_п(t)) состоит из дух подмножеств - первое (13.2.11) представлено одной компонентой, а второе (13.2.12) остальными компонентами множества K_п, " пÎ П _o, " oÎ O;

аналогично для ограничений:

ограничениям (13.2.4) эквивалентен их агрегированный вариант (13.2.15), а для ограничений (13.2.5) эквивалентен их агрегированный вариант (13.2.14):

для вектора переменных представленного соотношениями (13.2.5) эквивалентен агрегированный вектор (13.2.15).

Переменную y_n(t), пÎ П_o, " oÎ O можно трактовать как агрегированный продукт, каждая единица которого приносит один рубль дохода предприятию, полученный в период tÎ T.

Шаг 7. (Аналогичен шагу 1 блока 2, см. раздел 5.6 в [2]). В целом задачу отрасль-предприятие, представленную моделью (13.2.1)-(13.2.7), объединяя все агрегированные модели (13.2.11)-(13.2.15) можно представить в агрегированном виде: opt F_o(X_o(t)) Û opt F_o(Y_o(t)) ={

opt F1_o(Y_o(t))={f_vп(Y_п(t))=y_n(t), vÎ K_n, п= _o}, (13.2.16)

opt F2_o(Y_o(t))={f_ko(Y_o(t))= (c^o_ko+c_kn y_п(t)), к= _o}}, (13.2.17)

(a^o_in+a_in y_n(t)) £ b_i , iÎ M, (13.2.18)

y_n^o(t) £ y_n(t)£ y_n*(t), п= _o, " oÎ O, (13.2.19)

где соотношение opt F_o(X_o(t)) Û opt F_o(Y_o(t)) показывает эквивалентность векторного критерия (13.2.1), имеющего переменную X_o(t) размерностью N_n*П _o, " oÎ O и агрегированного векторного критерия F_o(Y_o(t)), полученного из объединения (13.2.11) и имеющего переменную Y_o(t) размерностью 1*П _o, " oÎ O;

агрегированный векторный критерий F_o(Y_o(t)) состоит из двух подмножеств - первое (13.2.16) представлено от каждого предприятия одной компонентой {y_n(t), п= _o}, каждое из которых являются агрегированным ведущим критерием предприятия, - второе F2_о(Y_o(t)) = {f_ko(Y_o(t)), k= _o, K_o= K_п } - векторный отраслевой критерий, каждая компонента которого представляет сумму отдельных критериев предприятий, обладающих свойствами аддитивности, и, в частности, одним их таких критериев может быть сумма объема продаж по всем предприятиям отрасли: f_vo(Y_o(t)) = y_n(t), " oÎ O;

(13.2.18) - агрегированные ограничения по ресурсам, они эквивалентны ограничениям (13.2.4) и составлены суммированием (13.2.13);

для агрегированного вектора переменных представленного соотношениями (13.2.19) эквивалентными являются (13.2.5).

Шаг 8. (Аналогичен шагу 2 блока 2, см. раздел 5.6 в [2]). Решается ВЗЛП (13.2.16)-(13.2.19) при равнозначных критериях.

В результате решение задачи (13.2.16)-(13.2.19) на планируемый год tÎ T получим: точку оптимума Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o} и максимальную относительную оценку l^o(t), такую, что

l^o(t)=l_п(y_n^o(t)), п= _o, (13.2.20)

для критерия (13.2.16), т. к. критерии независимы; и

l^o(t) £ l_k (y_n^o(t)), k= _o, (13.2.21)

для критерия (13.2.17), т.е. l^o(t) является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок l_k(X(t)), k= или гарантированным результатом в относительных единицах, а в соответствии с теоремой 3, точка {Y^o, l^o } оптимальна по Парето. (В обозначении Y_o^o(t) верхний индекс читается как «нулевое», в соответствии с результатом решения ВЗЛП в главах 2, 3, а нижний как «о» - отрасль).

Полученная точка оптимума Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o} определяет агрегированный вид продукции, выпускаемой каждым предприятием, и соответствующие технико-экономические показатели, включенные в план.

Подставляя значения y_n^o(t), " пÎ П_о в критерии (13.2.18) и ограничения (13.2.20) в отраслевом разрезе получим информационную модель - I^m предприятия на планируемый год tÎ T: I^{m п}(t)={ y_n^o(t), f_k(y_n^o(t))= c_j^k y_j^o(t), k= _п ,

G_i(y_n^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, " пÎ П_o, " oÎ O. (13.2.22)

Объединяя все I^m предприятий на планируемый год tÎ T получим агрегированную I^m отрасли:

I^{m о}(t)={ Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o}, f_k(Y_o^o(t))= c_п^k y_n^o(t), k= _o, K_o= K_п, G_i(Y_o^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, " oÎ O. (13.2.23)

При решении ВЗЛП (13.2.16)- (13.2.19) на период tÎ T лет получим развитие отрасли в динамике в виде набора I^m на каждый период планирования.

13.2.3. Агрегирование информации модели: регион - отрасли.

Математические модели, описывающие функционирование отраслей и региона в из взаимосвязи, предназначены, прежде всего, для изучения общих тенденций развития экономики региона, закономерностей его расширенного воспроизводства, роста его национального дохода, исследования межотраслевых пропорций и влияния отраслей друг на друга при их динамическом развитии.

При рассмотрении следующего уровня в ВЗЛП (13.1.1)-(13.1.9) выделяем двухуровневую экономическую систему, высшей управляющей подсистемой которой является орган, моделирующий экономическую деятельность региона и o= локальных подсистем, моделирующих деятельность отраслей региона. Модель регион - отрасли (13.1.1)-(13.1.9) с учетом моделей (13.2.18)-(13.2.22) представим в агрегированном виде:

opt F_r(X_r(t)) Û opt F_r(Y_r(t))={opt F1_r(Y_r(t))=

{f_ko(Y_o(t))= (c^o_kп+c_kn y_п(t)), к= _o, o= _r}, (13.2.27)

opt F2_r(Y_r(t))={f_к(Y_r(t)) = f_ко(Y_o(t)), к= _r, K_r= K_o }}, (13.2.28)

(a^o_in+a_in y_n(t)) £ b_i , iÎ M, (13.2.29)

(a^o_in + a_in y_n(t)) £ R_i, iÎ M, (13.2.30)

y_n^o(t) £ y_n(t)£ y_n*(t), п= _o, o= _r, " rÎ R, (13.2.31)

В данной модели в качестве переменной взят вектор Y_r(t) ={Y_о(t)= {y_n(t), п= _o}, o= _r} " rÎ R - определяющий агрегированные объемы продукции, выпускаемой регионом и его отраслями.

Соотношение opt F_r(X_r(t))Û opt F_r(Y_r(t)) показывает эквивалентность векторного критерия (13.1.1), имеющего переменную X_r(t) размерностью N_n*П_o*O_r, " rÎ R и агрегированного векторного критерия F_r(Y_r(t)), полученного из объединения (13.2.19) с переменной Y_r(t) размерностью 1*П _o*O_r, " rÎ R;

агрегированный векторный критерий F_r(Y_r(t)) состоит из двух подмножеств: первое (13.2.27) представляет цель каждой отрасли и определяется множеством критериев

f_ко(Y_o(t))= c^к_пf_кп(y_п(t)), к= _o, K_o= K_п, o= _r, (13.2.32)

которые функционально взаимно связаны с объемами продукции, выпускаемых своими предприятиями, а в соответствии с агрегацией проведенной в предыдущем разделе в каждый из них входит лишь п= _o переменных, т.е. равно количеству предприятий, входящих в отрасль;

второе F2_r(Y_r(t))={ f_ко(Y_o(t)), к= _r, K_r= K_o } - векторный критерий региона, каждая компонента которого представляет сумму отдельных критериев отраслей, обладающих свойствами аддитивности.

Деятельность региона ограничена имеющимися у него ресурсами (бюджет, дефицитные ресурсы) - (13.2.29)-(13.2.31):

(13.2.29) - агрегированные ограничения по ресурсам, они эквивалентны ограничениям (13.1.4) и составлены суммированием (13.2.20);

(13.2.30) - затраты по ресурсам, которые определяют отраслевые затраты на управленческую деятельность, они эквивалентны ограничениям (13.1.6) и составлены суммированием (13.2.21);

для агрегированного вектора переменных представленного соотношениями (13.2.31) эквивалентными являются (13.1.9).

Построение агрегированной модели отрасли.

Цель отрасли состоит в определении вектора Y_о(t)= {y_n(t), п= _o, " oÎ O, который оптимизировал свою компоненту критерия (13.2.27), при этом каждая отрасль стремится получить как можно больше ресурсов региона, тем самым осуществляется межотраслевая конкуренция.

При построении агрегированной модели отрасли предполагается, что выполнены основные условия агрегации (см. раздел 5.6). В качестве ведущего критерия и соответственно переменной z_o, " oÎ O примем совокупный конечный продукт отрасли, определяемый суммарным агрегированным продуктом всех предприятий входящих в отрасль:

z_o= (c^o_kп+c_kn y_п(t), " oÎ O. (13.2.33)

При решении ВЗЛП (13.2.27)-(13.2.31) легко вычислить, что агрегированная переменная z_o, " oÎ O лежит в пределах

0 £ z_o £ z_o*, " oÎ O.

Тогда, опуская шаги 2-5 и используя ограничение по агрегированному продукту каждой отрасли, построим модель отрасли в виде ВЗЛП:

opt F_o(X_o(t)) Û opt F_o(Y_o(t) Û opt F_o(Z_o(t))={

opt F1_vo(Z_o(t))={z_o(t), vÎ K_o}, (13.2.34)

opt F2_ko(Z_o(t))={(c_ko z_o(t)), к= _o}}, (13.2.35)

a_io z_o(t) £ b_i , iÎ M, (13.2.36)

a_io z_o(t) = R_i, iÎ M_o, (13.2.37)

0 £ z_o(t) £ z_o*(t), " oÎ O, (13.2.38)

где соотношение opt F_o(X_o(t))Û opt F_o(Y_o(t)Û opt F_o(Z_o(t)) показывает двойную эквивалентность (двойную агрегацию) векторного критерия отрасли (13.2.1), имеющего переменную X_o(t) размерностью N_n*П_o, " oÎ O, агрегированного векторного критерия F_o(Y_o(t)), с переменной Y_o(t) размерностью 1*П _o, " oÎ O, рассмотренного в модели (13.2.18)-(13.2.22) и агрегированного векторного критерия F_o(Z_o(t)), с переменнуой Z_o(t) размерностью 1;

агрегированный векторный критерий F_o(Z_o(t)) состоит из двух подмножеств - первое (13.2.34) представлено одной компонентой vÎ K_o, являющейся агрегированным ведущим критерием отрасли, - второе представлено F2_ko(Z_o(t))- векторным критерием, количество компонент которого определено остальными компонентами множества K_o, " oÎ O;

ограничениям (13.2.20) эквивалентен их агрегированный вариант (13.2.36), а для ограничений (13.2.21) эквивалентен вариант (13.2.37);

для вектора переменных представленного соотношениями (13.2.22) эквивалентен агрегированный вектор (13.2.38).

Переменную z_o(t), oÎ O можно трактовать как агрегированный совокупный продукт отрасли, каждая единица которого приносит один рубль дохода, полученного в период tÎ T.

Для любого фиксированного tÎ T вектор-столбец (13.2.34)-(13.2.38) представляет планируемую информационную модель отрасли, аналогично (13.2.26).

Построение агрегированной модели региона.

Введем некоторые обозначения, которые обычно используются в межотраслевом балансе:

x_ij(t) - объемы продукции (агрегированной) i-ой отрасли, затраченные в j-ой. Используя (13.2.37), x_ij(t) можно представить:

x_ij(t) = a_io z_o(t), i= , " oÎ O. (13.2.39)

где a_io - коэффициенты прямых затрат, определяющие, какое количество продукта i-ой отрасли необходимо истратить на производство единица продукции о-ой отрасли.

Переобозначим совокупный продукт i-ой отрасли x_i(t), i= . Тогда, суммируя все агрегированные затраты продукции этой отрасли (13.2.39) по всем отраслям, получим совокупный продукт i-ой отрасли.

x_i(t)= x_ij(t)+y_i(t), " iÎ O,

где y_i - конечный продукт i-ой отрасли. Подставляя (13.2.39) получим:

x_i(t)= a_ij x_i(t) +y_i(t), " iÎ O. (13.2.40)

Такие i= , уравнений определяют межотраслевой баланс региона в агрегированном виде.

В качестве ведущего критерия и соответственно переменной примем конечный агрегированный продукт отрасли, который может быть вычислен из (13.2.40), и обозначим его индексом oÎ O: y_o(t)=x_o(t)- a_jo x_o(t), " oÎ O.

Используя полученное соотношения для всех отраслей региона o= _r, " rÎ R, агрегированную модель отрасли (13.2.34)-(13.2.38), и вычисления, полученные на шаге 2-5, преобразуем модель системы регион - отрасли (13.2.27)- (13.2.31) в агрегированную модель:

opt F_r(X_r(t)) Û opt F_r(Y_r(t)) Û opt F_r(Z_r(t)) «opt F_r(Y_r(t)=

{opt F1_r(Y_r(t))={f_o(Y_o(t))= y_o(t)), o= _r }, (13.2.41)

{opt F2_r(Y_r(t))={f_к(Y_r(t))= f_ко(Y_o(t)), к= _r, K_r= K_o}}, (13.2.42)

y_o (t)= x_o(t)- a_io x_o(t), o= _r, (13.2.43)

(a_io x_o(t)) £ b_i, iÎ M, M=M_TÈ M_F, (13.2.44)

x_o(t) £ u_o(t), o= _r, " rÎ R, (13.2.45)

где соотношение opt F_r(X_r(t)) Û opt F_r(Y_r(t)) Û opt F_r(Z_r(t)) показывает двойную эквивалентность (двойную агрегацию) векторного критерия региона (13.2.27), имеющего переменную X_r(t) размерностью N_n*П_o*O_r, " rÎ R, агрегированного векторного критерия F_r(Y_r(t)), имеющего переменную Y_r(t) размерностью 1*П_o*O_r, " oÎ O, рассмотренного в модели (13.2.27)-(13.2.31) и агрегированного векторного критерия F_r(Z_r(t)), имеющего переменную Z_r(t) размерностью 1*O_r, т.е. равно количеству отраслей в регионе;

соотношение opt F_r(Z_r(t))«opt F_r(Y_r(t)) показывает переобозначение переменных Z_r(t) в Y_r(t) с учетом (13.2.40);

агрегированный векторный критерий F_r(Y_r(t)) состоит из двух подмножеств - первое (13.2.41) представлено одной компонентой vÎ K_o, являющейся агрегированным ведущим критерием отрасли и определяет конечный продукт, получаемый каждой отраслью региона, - второе F2_r(Y_r(t)) - векторный региональный критерий, каждая компонента которого представляет сумму отдельных критериев отраслей, обладающих свойствами аддитивности, и характеризует технико-экономические показатели региона;

(13.2.43) - агрегированные ограничения, связанные с прямыми затратами i-ой отрасли в o-ой " i, oÎ O, они эквивалентны ограничениям (13.2.4) и составлены из (13.2.40); (13.2.44) - ограничения, определяемые трудовыми ресурсами и производственными фондами отраслей, они эквивалентны ограничениям (13.2.5) и составлены суммированием (13.2.37);

для вектора переменных представленного соотношениями (13.2.45) эквивалентным является агрегированный вектор (13.2.31).

Прежде чем приступить к анализу агрегированной модели (13.2.41)-(13.2.45), заметим, что максимизируемый конечный продукт (13.2.41) представляет собой составляющие: y_o^потр, o= - продукция на цели личного и общественного потребления; y_o^ф, o= - накопление основных и оборотных фондов; y_o^э, o= - экспорт; y_o^ост, o= - возмещение основных производственных фондов, государственных резервов и т. д. поэтому решая ВЗЛП модели (13.2.41)-(13.2.45) для каждого из перечисленных показателей (критериев), можем получить пределы их роста (0£ y_o £ y_o*, o= ), и условия, когда критерии равнозначны.

В результате решение задачи (13.2.41)-(13.2.45) на планируемый год tÎ T получим: точку оптимума Y_r^o(t)={y_o^o(t), o= _r} и максимальную относительную оценку l^o(t), такую, что

l^o(t)=l_o(y_o^o(t)), o= _r, (13.2.46)

для критерия (13.2.41), т. к. критерии (отрасли) независимы, и

l^o(t) £ l_k (y_o^o(t)), k= _r, (13.2.47)

для критерия (13.2.42), т.е. l^o(t) является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок l_k(X(t)), k= или гарантированным результатом в относительных единицах, а в соответствии с теоремой 3, точка {Y^o, l^o } оптимальна по Парето.

Полученная точка оптимума Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o} определяет агрегированный конечный вид продукции, выпускаемый каждой отраслью, технико-экономические показатели региона, включенные в план, и соответствующие межотраслевые затраты x_ij(t)= a_ij x_i(t), " iÎ O.

Подставляя значения y_o^o(t), " oÎ O_r в критерии (13.2.41) и ограничения (13.2.43) в отраслевом разрезе получим информационную модель отрасли на планируемый год tÎ T:

I^mo(t)={ y_o^o(t), f_k(y_o^o(t))= c_o^k y_o^o(t), k= _r, K_r= K_o,

G_i(y_o^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, " oÎ O. (13.2.48)

Полученная модель эквивалентна ИМ (13.2.26), но в качестве переменной здесь используется конечный продукт отрасли.

Объединяя все ИМ отраслей на планируемый год tÎ T получим агрегированную ИМ региона:

I^mr(t)={ Y_r^o(t)={y_o^o(t), o= _r}, f_k(Y_r^o(t))= c_o^k y_o^o(t), k= _o,

G_i(Y_o^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, " rÎ R. (13.2.49)

Полученные ИМ могут быть использованы в модели следующего уровня государство-регион.

При решении ВЗЛП (13.2.41)- (13.2.45) на период tÎ T лет получим развитие региона в динамике в виде набора ИМ на каждый период планирования.