Нелинейная модель рынка

Методологию моделирования рынка с учетом функции спроса и предложения проведем в три этапа: постановка задачи, построение модели вида (5.3.1)-(5.3.5) и непосредственно моделирование.

Постановка задачи.

Дано. Предположим, что известны статистические данные о покупках и производстве телевизионных приемников: спрос (цена - объемы покупок), предложение (цена - объемы продаж) [26], т. е. решается задача в условиях неопределенности.

На объем производства и соответственно продаж оказывают влияние:

· производственные возможности производителей: a ₁= a ₂=400 - затраты на производство продукта у обоих производителей, b ₁ =b ₂ = 150000 - финансовые возможности фирм при производстве продукта;

· финансовые возможности потребителей: b = 100000, b = 300000, " l Î L – минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые они может выделить на покупку продукта от разных фирм. Максимальная цена, которую в состоянии оплатить потребители, p^max =800.

Построить оптимизационную модель рынка с учетом функций спроса и предложения и рассчитать оптимальную цену, объемы спроса-предложения.

Построение модели рынка с учетом функции спроса и предложения выполним за два шага: используя статистические данные, сформируем функции спроса и предложения, на их основе построим модель вида (10.1)-(10.5).

Построим функцию спроса и предложения, проведя регрессионный анализ статистических данных с использованием пакета программ Statistica [8]. В результате расчета получим: средние значения цены и объемы реализуемого товара, а также данные регрессионного анализа, в т. ч. функции линейного спроса и предложения:

q = – 2, 60 с_х + 1631, 47, q = 2, 11 с_х -566, 07. (5.3.17)

Эти уравнения и соответствующие параметры регрессионного анализа показаны на рис. 5.2, 5.3.

Построим модель рынка, для этого, используя исходные данные, преобразуем задачу математического программирования (5.3.1)-(5.3.5) с учетом функций рыночного спроса и предложения (5.3.7). В итоге получим векторную задачу нелинейного программирования:

opt F (X) = { max f ₁(X) = (p- 400) x ₁ + (p- 400) x ₂, (5.3.18)

min f ₂(X) = px ₁ + px ₂}, (5.3.19)

при ограничениях

1468.33£ 2.60 p + x ₁+ x ₂ £ 1794.6, (5.3.20)

-622.67 £ -2.11 p + x ₁+ x ₂ £ -509.67, (5.3.21)

100000 ≤ px ₁+p x ₂ ≤ 300000,

400 x ₁≤ 150000, 400 x ₂≤ 150000, (5.3.22)

400£ p £ 800, x ₁, x ₂³ 0, (5.3.23)

где X= { p, x ₁, x ₂} – вектор неизвестных, определяющий цену и конструктивные параметры рыночного спроса – потребления;

(5.3.18)-(5.3.19)– функции, определяющие цели индивидуального производителя и индивидуального потребителя;

(5.3.20) – функция спроса, в ней b^d- 10% b^d= 1631.47-10%*1631.47=1468.33, b^d+ 10% b^d= 1794.6;

(5.3.21) – функция предложения: b^s- 10% b^s =-566.07-10%(-566.07)=-622.67, b^s+ 10% b^s =-509.47.

(5.3.22) - ограничения по бюджету потребителей и производственным мощностям производителей;

(5.3.23) – ограничения, накладываемые на цену и на не отрицательность объемов произведенной и проданной продукции.

Моделирование развития рынка (в нашем примере исследование) выполним путем решения двух вариантов векторной задачи (5.3.18)-(5.3.23) с различными ограничениями: функции спроса-предложения представлены равенствами, неравенствами (5.3.20)-(5.3.23).

Результаты решения проиллюстрируем на рис. 5.3 и 5.4.

1 вариант. Решение равенств (5.3.17), т. е. определения точки равновесия спроса и предложения, представим в системе Matlab.

[ q, c ] =solve ('q+ 2.60 *p= 1631.47', 'q- 2.11 *p =-566.07'). (5.3.24)

В результате решения получим: X_d=s= { p= 466.569, q = 418.39}. Эта точка представлена на рис. 5.4 в центре.

2 вариант. Для решения векторной задачи (5.3.18)-(5.3.23) используем метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, на каждом шаге которого применяется алгоритм решения однокритериальной задачи нелинейного программирования, представленный в системе Matlab (функция fmincon (…)).

Шаг 1, 2. Решается задача (5.3.18)-(5.3.23) по каждому критерию отдельно – ищется наилучшее X , k= (К =2) и наихудшее решение X , k= .

В результате решения получим:

X ={ p =513.2, x ₁=230.11, x ₂=230.11}, f = f ₁(X )=-52107,

X ={ p =419.9, x ₁=188.2, x ₂=188.2}, f = f ₁(X )=7512;

X ={ p =443.9, x ₁=157.03, x ₂=157.03}, f = f ₂(X )=139430,

X ={ p =489.2, x ₁=261.3, x ₂=261.3}, f = f ₂(X )=255670.

Эти точки представим на рис. 5.4 точками с соответствующими координатами: X 1 _max ={ p =513.2, d =460.22}, X 1 _min ={ p =419.9, d =376.4}, X 2 _min ={ p =443.9, d =314.06}, X 2 _max ={ p =489.2, d =522.6}, где с – стоимость товара, d = x ₁+ x ₂ - объем спроса-предложения. Область, ограниченная этими точками представляет собой область спроса-предложения.

Рис. 5.3. Функции спроса-предложения и результаты решения задачи

Результаты решения X , X получены при условии, что каждому участнику рынка (производителю и потребителю) предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при оптимизации учитываются только ограничения, накладываемые на их производственную деятельность и финансовые возможности. Практически показатели X , f - это монополия для производителя, а X , f - монопсония для потребителя. Эти смоделированные показатели берем за цели, к которым стремится каждый участник рынка.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев и анализ результатов решения, полученных по каждому критерию.

f_k (X ) = ,

l _k () = .

На этом этапе цели каждого участника р f , f по числовой величине выравниваются, в результате получим нормализованные цели l = l _k(X )= 1, " k Î К, к которым должен стремиться каждый участник рынка.

Шаг 4. Построение и решение l-задачи:

l ^o= max l, (5.3.25)

l - £ 0, (5.3.26)

l - £ 0, (5.3.27)

1468.33£ 2.60 p +x ₁ +x ₂£ 1794.6, (5.3.28)

- 622.67 £ -2.11 p+x ₁ +x ₂ £ -509.67, (5.3.29)

100000≤ px ₁+ px ₂ ≤ 300000, 400 x ₁≤ 150000, 400 x ₂≤ 150000, x ₁, x ₂³ 0,

Рис. 5.4. Целевые функции производителя и потребителя на области спроса-предложения

В l-задаче целенаправленность определяется нижним уровнем l =min (l _k (X), k= ), " X Î S. l рассчитывается для всех критериев - как для производителей, так и для потребителей измеренных в относительных единицах, и в l-задаче этот уровень устремляется к максимуму, который в итоге равен l^o.

В результате решения l-задачи получаем точку оптимума X^o= { p= 477.9, x ₁=202.2, x ₂=202.2} см. рис. 5.3 и 5.4 и максимальную относительную оценку l^o=0.5373 см. рис. 5.4, которая является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок l^o=min (l _k (X^o), k= 1, 2), т. е. гарантированным результатом в относительных единицах, который гарантирует, что в полученной оптимальной точке X^o все критерии равны или лучше l^o, т. е. выполняются условия l _k (X^o)³ l ^o, k =1, 2 или в общем виде: l ^o ≤ l _k (X^o), k= .

Действительно: f ₁(X^o)=31488, f ₂(X^o)=193210. l₁(X^o) = 0.5376, l₂(X^o)=0.5373.

Покажем функции, определяющие цели индивидуального производителя (5.3.8) и потребителя (5.3.9) на рис. 5.4.

Область спроса-предложения X1_maxX2_minX1_minX2_max, рассмотренная на рис. 5.4, представлена четырехугольником, который искусственно опущен до l= -1. Точка X^o , принадлежащая области спроса-предложения, является «седловой», в ней, во-первых, спрос равен предложению l₁(X^o)=l₂(X^o)=0.5373, во-вторых, это равенство максимальное.

В терминах стоимостей финансовые затраты производителей и потребителей также равны между собой:

f_{å q} (X) = (p_q +a_ql) x_ql=f_{å l} (X) = p_qx_ql, (5.3.30)

т.е. предложение равно спросу.

Заключение. Таким образом, в рассмотренной оптимизационной модели рынка (5.3.1)-(5.3.5) и его числового варианта (5.3.9)-(5.3.11) полученный результат – (равновесная цена и объем спроса – предложения) учитывает, во-первых, бюджет потребителя и возможности производителя, во-вторых, лежит в области, определяемой функциями спроса - предложения.