Вынужденные колебания.

В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом подводить к колебательной системе энергию, восполняя ее потери.

Предположим, что на колеблющуюся систему действует внешняя (вынуждающая) сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

F_вн = F₀ cos wt,

где w— циклическая частота, F0 — амплитудное значение силы. Результирующая сила найдётся как сумма

,

где — сила сопротивления, F упр = -kx — квазиупругая сила. Таким образом,

.

Используя второй закон Ньютона F=maи замечая, что , , получим

или

,

(10.1)

гдеb = r/2m — коэффициент затухания, — циклическая частота незатухающих (свободных) колебаний.

Уравнение (10.1) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение этого уравнения будем искать в виде

т.е., мы предполагаем, что система совершает гармонические колебания с частотой, равной частоте колебаний внешней силы.

Для нахождения амплитуды А вынужденных колебаний продифференцируем (10.2) дважды по времени. Имеем:

;

(10.3)

.

(10.4)

Подставляя (10.2) –(10.4) в (10.1), получим:

.

(10.5)

Из выражения (10.5) видно, что в результате сложения двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на p/2, получается гармоническое колебание с амплитудой F₀/mи начальной фазой, равной нулю. Для сложения колебаний используем метод векторных диаграмм. В §8 было показано, что при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового направления результирующая амплитуда может быть найдена по формуле (8.1). В данном случае (см. выражение (10.5)):

;

.

Подставляя эти данные в формулу (8.1), получим:

,

отсюда

(10.6)

Рис. 10.1

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней периодически действующей силы. При w®0 A®F₀/mw₀: если же , то А®0; при некотором значении w=w_pамплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения — рис. 10.1.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней периодически действующей силы стремится к резонансной, называется резонансом. Частота w_p, при которой наступает резонанс, называется резонансной.

Значениеw_p можно найти из условия, что приw =w_p амплитуда A=max.

Это условие выполняется, если подкоренное выражение в (10.6) при w=w_p будет минимальным. Это означает, что первая производная по частоте от подкоренного выражения равна нулю:

.

Отсюда:

.

(10.7)

Из (10.7) видно, что резонанс наблюдается при частоте, меньшей, чем частота собственных колебаний системы.

Важной характеристикой резонансной кривой является её ширина, т.е. интервал частотDw вблизи от резонанса, в пределах которого A 0, 7Ap. Можно показать, что ширина резонансной кривой однозначно связана с коэффициентом затухания bсоотношением Dw=b, что позволяет определять этот важный параметр колебательной системы по графику зависимостиA(w).