Физ. И Мат. Маятники.

Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее А вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 6.3). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия . Угол играет роль обобщенной координаты q. Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением

,

где I – момент инерции маятника относительно оси А.

Потенциальная энергия равна

,

где h – высота поднятия центра масс С над его самым нижним положением. Обозначим через а расстояние между центром масс С и точкой подвеса А. Тогда

.

В случае малых колебаний синус угла можно приближенно заменить самим углом. В этом приближении

.

Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (6.14), причем . Отсюда следует, что малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой

(6.18)

и периодом

. (6.19)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке – в центре масс маятника С.

Рис. 6.3

Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника

,

где l – длина маятника.

Формула (6.19) переходит в

. (6.20)

Сравнивая формулы (6.19) и (6.20), заключаем, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной

, (6.21)

которая называется приведенной длиной физического маятника.

Отложим от точки подвеса А вдоль прямой А С отрезок , длина которого равна приведенной длине физического маятника l (см. рис. 6.3). Точка называется центром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.

По теореме Штейнера

,

где – момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (6.21), придадим ей вид

. (6.22)

Отсюда следует, во-первых, что l > a, т. е. точка подвеса А и центр качания лежат по разные стороны от центра масс С и, во-вторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина l, а следовательно, один и тот же период колебаний T.