Логические операции.

Основные понятия

Логическая переменная

Логическая операция

Логическое выражение

Логическая функция

Логическая переменная имеет название и значение - 0 или 1 (истина или ложь).

Несколько переменных, связанных между собой с помощью логических операций, называют логической функцией.

Существует три базовые логические операции: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (отрицание).

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, то получится логическое выражение. Значение логического выражения тоже может быть либо истинным (1) либо ложным (0).

Приоритет выполнения логических операций:

1. Выражение в скобках

2. Инверсия (НЕ) смотреть

3. Конъюнкция (И) смотреть

4. Дизъюнкция (ИЛИ) смотреть

5. Импликация

6. Эквивалентность

Таблица истинности - таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение - составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построениятаблицыистинности:

1.подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2.определить число строк - m = 2n;

3.определить количество столбцов в таблице, которое равноколичеству переменныхплюсколичество операций;

4.ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция) с учетом скобок и приоритетов;

5.заполнить столбцы входных переменных наборами значений;

6.провести заполнение таблицы истинности по столбцам.

Заполнение таблицы:

1.разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2.разделить колонкузначенийвторой переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3.продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы е сказуемому или использования оборота речи " неверно, что,,, ".

Мнемоническое правило: слово нверсияот лат. inversio ереворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль. Операцию инверсии можно графически проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера енна.

В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству.

Близость законов алгебры высказываний к законам алгебры множеств можно продемонстрировать следующим образом. С одной стороны, каждое множество может быть описанолибо при помощи прямого перечисления его элементов, либо путем указания свойства, которому должны удовлетворять все элементы данного множества и только эти элементы. Так, можно говорить о множестве, состоящем из четырех студентов: Пети, Гали, Коли, Оли, или о множестве отличников данной студенческой группы, имея в виду в обоих случаях одно и то же множество. С другой стороны, выбрав какое-то высказывание, можно рассмотреть множество всевозможных объектов, к которым это высказывание относится, и выделить из него подмножество, для элементов которого это высказывание будет истинным (множество истинности высказывания). Так, множество истинности высказывания Этот студент тличник для рассмотренной выше студенческой группы будет включать в себя ту же четверку студентов.

Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза " и".

На автостоянке стоит ерседесr> На автостоянке стоит игули/em>

На автостоянке стоят ерседес игулиem>

Конъюнкция то логическое умножение, равенства 0 0 = 0; 0 = 0; 1 = 0; 1 = 1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.

В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересечения множеств.

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух

высказываний в одно с помощью союза лиr>

В русском языке союз лиспользуется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз лизят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

На автостоянке стоит ерседесr> На автостоянке стоит игули/em>

На автостоянке стоит ерседесли игулиem>

Дизъюнкция то логическое сложение, равенства 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0=1, верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 1 v 1 = 1.

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи " если..., то... ".

Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи тогда и только тогда, когда...