Практическое занятие 30

Тема: Точечные оценки. Интервальные оценки

Цель занятии: Уметь вычислять выборочное и генеральное среднее. Доверительные интервалы.

Вопросы: Что называется несмещенной и смещенной оценкой? Формула вычисления доверительного интервала.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

где варианта выборки, частота варианты, объем выборки.

Замечание1. Если первоначальные варианты -большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т.е. перейти к условным вариантам

(в качестве С выгодно приять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»).Тогда

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

это оценка является смещенной, так как

Более удобна формула

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Более удобно формула

В условных вариантах она имеет вид

причем если , то , если , то .

Пример1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п=50:

варианта

частота

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

Пример2. Задано распределение первоначальных вариант выборки объема п:

Доказать, что где условные варианты .

Решение. Так как , то ; суммируя левую и правую части равенства по всем значениям i, получим

, или .

Отсюда .

Следовательно,

или

что и требовалось доказать.

. Пример 3. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п=10:

Решение. Первоначальные варианты –большие числa, поэтому перейдем к условным вариантам . В итоге получим распределение условных вариант:

Найдем искомую выборочную среднюю:

.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где - точность оценки, - объем выборки, - значение аргумента Функции Лапласа , при котором при неизвестном (в объеме выборки )

где s – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3 по заданным и .

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака Х по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

где q – находят по таблице приложения 4 по заданным .

Пример 4. Найти доверительные интервал для оценки с надежностью 0, 95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки n=25.

Решение: Требуется найти доверительный интервал

все величины, кроме t известны. Найдем t из соотношения . По таблице приложения 2 находим . Подставив , в формулу окончательно получим искомый доверительный интервал .

Пример 5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0, 975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

Решение: Воспользуемся формулой, определенной точностью оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: . Отсюда

(*)

По условию, следовательно, По таблице приложения 2 найдем t=2, 24. Подставив в (*), получим искомых объемов выборки п=81.

Пример 6. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0, 95.

Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

,

.

По данным и по таблице приложения 4 найдем . Так как , то, подставив по формуле получим искомый доверительный интервал

0, 56< < 1, 44.

Рекомендуемая литература: ОЛ[7], [10]